Пересекаются ли параллельные прямые у Лобачевского?

Нет, но выделывают другие фокусы

Иногда приходится слышать, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые якобы пересекаются. Это неверно по определению: параллельными и называются прямые, которые не пересекаются.

Возникновение геометрии Лобачевского связано с самой неочевидной из евклидовых аксиом: постулатом о параллельных прямых. Он гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести лишь одну прямую, параллельную данной. Почему одну, а не две или больше?

Веками математики пытались доказать, что этот постулат — не аксиома, а теорема, которая выводится из остальных аксиом. Это объясняло бы его неочевидность: теоремы и не обязаны быть очевидными. Но все такие попытки провалились.

Лобачевский сделал смелый шаг. Он заменил эту аксиому на противоположную: через точку, не лежащую на прямой, можно провести больше одной прямой, параллельной данной. Это ведет к любопытным следствиям.

Например, расстояние между двумя параллельными прямыми не обязано оставаться постоянным. Параллельные могут сначала сближаться друг с другом, а потом, так и не пересекшись, разойтись.

Позже доказали, что в геометрии Лобачевского нет логических противоречий, если только их нет в евклидовой геометрии. Это значит, что постулат о параллельных все-таки нельзя вывести из остальных евклидовых аксиом.