Как работает закон подлости с точки зрения математики: о коварстве географически карт

Раскроем загадку одного закона подлости, который не вошел в классические книги по мерфологии, но хорошо известен туристам, геологам и всем, кто пользуется топографическими картами: 

Раскроем карту, чтобы найти на ней какой-нибудь объект. Предположим, нас одинаково часто интересуют объекты, расположенные на всех участках карты. Причем не объекты сами по себе как точки. Весь смысл использования карты состоит в обозрении окрестностей объекта, некой конечной площади.

Пусть нам достаточно будет некоторой малой доли α от площади карты S, чтобы понять, как попасть туда, куда нужно. Если то, что мы ищем, окажется недалеко от сгиба или края карты, скажем ближе какого-то критического расстояния d, мы можем счесть, что закон туриста сработал.

Доля таких пограничных площадей в общей площади карты даст нам вероятность испытать этот закон подлости на себе. Вот как выглядят неприятные участки карты при α = 0,5% и всего одном сгибе.

Для окрестности в форме квадратика

Неприятные полоски будут иметь площадь

Четыре полосы: две вертикальные и две горизонтальные — расположатся у края; любой дополнительный изгиб, горизонтальный или вертикальный, добавит еще одну полоску.

А теперь воспользуемся свойством аддитивности мер и вычислим меру объединения всех полосок как сумму их площадей, за вычетом площади пересечений. При этом следует заметить, что пересекающиеся полоски формируют квадратики площадью d² = αS.

Сложив карту так, чтобы получилось n горизонтальных и m вертикальных изгибов, мы получим суммарную площадь неприятной зоны, равную

Разделив ее на площадь всей карты S, получим неприятную долю общей площади, выраженную только через количество сгибов и α. Отсюда получаем вероятность оказаться в этой доле при случайном выборе объекта:

На рисунке выше заливкой показаны области, в которых эта доля превышает 50% для различных значений α.

Например, приняв α = 0,75% и сложив карту вдвое в одном направлении (одна складка) и вчетверо — в другом (три складки), мы найдем, что вероятность попасть в неудобное место превысит 50%.

Чаще всего карты имеют по три вертикальные и три горизонтальные складки, что дает вероятность выполнения закона подлости около 60% при весьма незначительном α = 0,5%.

_{Отрывок из книги Сергея Самойленко «Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни». М.: Издательство «МИФ», 2022.}