Чудеса математики: решаем пример с умножением 7 разными способами и получаем одинаковый ответ
Смерть Архимеда. По легенде, 75-летнего ученого убили римские солдаты вскоре после взятия Сиракуз в 212 году до нашей эры.
Фото
North Wind Picture Archives / Alamy

Складывать, вычитать, умножать и делить мы научились еще в школе, а кто-то даже в детском саду. Обычно мы без труда проводим простые операции в уме, например, когда нужно посчитать, сколько будет стоить 300 граммов помидоров по цене 150 рублей за килограмм. Но если числа многозначные, 99% из нас не обойдутся без калькулятора.

А как же поступали в старину, когда это устройство еще не изобрели? У каждой продвинутой цивилизации был свой метод — а куда деваться, без математики экономику не поднять. В редакции портала MSK1.RU показали, как умножить 223 на 304 такими способами, которые никогда не пришли бы вам в голову.

Египетский метод

Чтобы решить наш пример этим способом, сперва запишем множители. После этого нужно представить число 223 в виде суммы степеней двоек — начинаем с единицы и умножаем на два, пока не получим число, которое будет больше, чем 223. Получится 256. Это уже много. А раз много, значит нам это не нужно. Остается 128.

Чудеса математики: решаем пример с умножением 7 разными способами и получаем одинаковый ответ

Дальше нужно число 304 умножить на все получившиеся числа. Но понадобятся нам не все. Из чисел левого столбца нам нужно собрать число 223. Идем снизу вверх. Берем 128, прибавляем к нему 64. Получается 192. Если прибавить к этой сумме 32, получится 224, а это уже перебор. Поэтому 32 пропускаем и прибавляем все остальные. Выйдет наше 223.

На те числа, что остались (а это все, кроме 32), мы и будем умножать наше 304. Теперь суммируем все, что у нас получилось. Сумма этих чисел окажется 67 792.

Чудеса математики: решаем пример с умножением 7 разными способами и получаем одинаковый ответ

Если вам кажется, что умножать 304 на 128 в такой ситуации будет полнейшим безумием, воспользуйтесь хитростью и просто умножайте каждое предыдущее число на два — так будет проще.

Древнерусский метод

Все, что вам понадобится, чтобы решить любой пример с умножением этим крестьянским методом, — это уметь умножать и делить на два.

Для начала будем последовательно делить на два первое число, пока оно не превратится в единицу. Думаете, не получится в случае с числом 223? Только не в древнерусском способе! Если в результате будет получаться число с остатком, отбрасываем эти остатки куда подальше — они нам не пригодятся.

Чудеса математики: решаем пример с умножением 7 разными способами и получаем одинаковый ответ

После этой нехитрой процедуры беремся за второй множитель — его будем на два умножать. Столько же раз, сколько делили первый множитель, пока он не достиг единицы. Умножили? Теперь вычеркивайте все строчки, в которых в левом столбце есть четное число. У нас такая строчка одна — с цифрой шесть.

Чудеса математики: решаем пример с умножением 7 разными способами и получаем одинаковый ответ

Дальше — самая нелегкая задача этого метода: суммировать все числа, что стоят справа (включая 304). Сложно, но у древнерусских счетоводов не было другого выбора, и им приходилось все считать вручную. У нас, к счастью, есть калькуляторы, так что мы с удовольствием воспользуемся этой возможностью. И калькулятор покажет 67 792.

Если вы хотите проверить, действительно ли работает этот метод, можете поменять множители местами и все пересчитать, но, забегая вперед, мы вам скажем, что от перестановки мест множителей произведение не меняется даже в этом случае.

Метод треугольника

Первым дело запишем наши числа одно над другим и подведем под ними черту. И умножим каждую цифру верхнего числа на каждую цифру нижнего. Если будут получаться двузначные числа, пишем их как есть, а вот однозначные пишем в виде «ноль и цифра» — например, 08 вместо просто 8.

Чудеса математики: решаем пример с умножением 7 разными способами и получаем одинаковый ответ

Получив эту хитрую комбинацию, умножаем соседние цифры (2 на 0, 2 на 4) и в обратную стороны (2 на 3 и 3 на 0). Идем еще дальше и стараемся не запутаться — перемножаем первую верхнюю цифру на третью нижнюю, а третью верхнюю — на первую нижнюю. Умножение закончилось.

Чудеса математики: решаем пример с умножением 7 разными способами и получаем одинаковый ответ

Давайте складывать то, что у нас получилось. А получилось у нас 67 792.

Метод ромба

Выписываем наших героев и подводим под ними черту, как делали это в методе треугольника. Затем перемножим крайние цифры — 2 и 4. Результат (его мы записываем как 08) будет первой строкой нашего решения. Следом за ними умножаем вторую цифру левого множителя на первую и третью — правого. Запишем их во вторую строку. Начало ромбу положено.

Чудеса математики: решаем пример с умножением 7 разными способами и получаем одинаковый ответ

Ну а дальше умножаем друг на друга цифры из разряда сотен, десятков и единиц и так же записываем их в одну строку. Результат заносим в третью строчку.

Теперь берем вторую цифру во втором множителе и умножаем на первую и третью из первого. Четвертая строка решения готова. Последней, пятой строкой записываем произведение последней цифры первого множителя и первой цифры второго. Наш ромб готов. Осталось только суммировать цифры, расположенные друг над другом. Метод, конечно, красивый, но совсем не простой в применении.

Чудеса математики: решаем пример с умножением 7 разными способами и получаем одинаковый ответ

Китайский метод

Вот мы и добрались до того момента, где объясним, зачем нам понадобились трехзначные числа, да еще и с нулем. В китайском методе нам придется считать, чертить и рисовать.

Так что для начала разберем принцип его работы на простом примере и умножим 34 на 62. Для этого нарисуем черты. Сперва три горизонтальные, потом, через промежуток, еще четыре. Это три десятка и четыре единицы нашего первого числа. А число 62 по такому же принципу превращается в шесть и две вертикальные черты. Теперь нам нужно разграничить зоны единиц, десятков и сотен.

Чудеса математики: решаем пример с умножением 7 разными способами и получаем одинаковый ответ

После этого считаем точки пересечения всех черточек. В зоне единиц их восемь, в зоне десятков — 30, в зоне сотен — 18. Теперь нужно это сложить: 1800+300+8 = 2 108. На калькуляторе, умножая 34 на 62, получится тот же результат.

Переходим к нашему изначальному примеру и умножим 223 на 304. Рисуем две, две и три горизонтальные линии, три вертикальные слева и четыре справа. Место посередине оказывается пустым, поэтому здесь у нас будет воображаемая линия. (Цифры у нас стали крупнее, поэтому и зон будет больше.) И считаем точки пересечения.

Чудеса математики: решаем пример с умножением 7 разными способами и получаем одинаковый ответ

Складываем, начиная с единиц. Там, где получились двузначные числа, оставляем единицы, а десятки перекидываем в соседнюю область. То есть там, где стояли рядом 8 и 12, оказались 9 и 2, а соседство 6 и 17 превратилось в 7 и 7. Считаем, что у нас получилось, справа налево: 67 792.

Метод решетки

Чтобы решить наш пример методом решетки (его еще называют древнеиндийским методом), первым делом надо нарисовать таблицу, у которой будет три столбца и три строки — по количеству цифр в умножаемых числах. Потом делим каждую ячейку по диагонали на две части. Решетка готова.

Теперь по горизонтали выписываем цифры числа 223, а по вертикали — числа 304. И перемножаем каждое число сверху на каждое число справа. Результат вписываем в наши ячейки таким образом: сверху — десятки, снизу — единицы (если десятков нет, пишем ноль).

Чудеса математики: решаем пример с умножением 7 разными способами и получаем одинаковый ответ

Теперь складываем цифры, которые получились в наших диагоналях. По периметру, начиная с правого нижнего угла и поднимаясь до левого верхнего. Если число вышло двузначным, оставляем только единицу, а десятки плюсуются к единицам числа предыдущего — совсем как в сложении, к которому мы привыкли.

Чудеса математики: решаем пример с умножением 7 разными способами и получаем одинаковый ответ

Выписываем ответ, начиная с левой стороны: 67 792. Что и требовалось доказать.

Метод массива

Этот метод похож на метод решетки, но есть отличия. Здесь мы снова рисуем таблицу на три столбца и три строки, но ни на какие ячейки не делим. А наши числа записываем не в виде отдельных цифр, а сотнями, десятками и единицами.

Чудеса математики: решаем пример с умножением 7 разными способами и получаем одинаковый ответ

Дальше начинаем умножать те цифры, что сверху, на те, что справа.

Чудеса математики: решаем пример с умножением 7 разными способами и получаем одинаковый ответ

Умножили? Осталось только все сложить: 60 000 + 6000 + 900 + 800 + 80 + 12 = 67 792. Тот результат, который и получится, если умножить 223 на 304.

Разные способы решения одного и того же примера — не единственная математическая причуда. На днях одна несложная на первый взгляд задачка разделила весь на два лагеря — нешуточные битвы в комментариях разгорелись из-за простого примера для шестиклассников.

По материалам MSK1.RU.