Чувств наших логарифмы
За фразой «всё познается в сравнении» стоит конкретная математическая формула
![]() Человеческое ухо устроено таким образом, что при увеличении звукового давления на порядок звук кажется вдвое более громким, а при повышении вдвое его частоты, он кажется на октаву более высоким. Фото (
|
Потоки световой энергии, падающей на сетчатку нашего глаза от Солнца и от звезд, различаются во многие миллиарды раз! Но глаз видит и то, и другое. Ни один технический измерительный прибор не имеет такого широкого диапазона чувствительности. Чтобы производить измерения, применяются специальные усилители или «ослабители» (фильтры) сигнала, а наш глаз справляется с этой проблемой сам. И не только глаз. Мы слышим писк комара и рев авиалайнера, а ведь их звуковое давление тоже различается в миллиарды раз. Как же работают в столь широком диапазоне наши чувства? Оказывается, они используют одну «математическую хитрость» — преобразование измерительной шкалы.
В быту, как правило, мы используем для измерения различных величин линейные шкалы: для измерения длины — метры, мили и футы, для указания веса — граммы, тонны и фунты, а также градусы Цельсия или Фаренгейта — для температуры. В науке диапазон измерений значительно шире, чем в быту, поэтому ученые часто оперируют порядками величин, записывая числа в так называемой научной символике, обозначаемой на калькуляторах как «scientific notation». Например, вместо 56000 пишут 5,6 ´ 104. По существу, это логарифмическая запись, хотя в показателе степени обычно оставляют только целую часть логарифма, а мантиссу — дробную часть логарифма — записывают в виде десятичной дроби. Это удобно: целый показатель степени сразу указывает область измерения — «порядок величины». В нашем примере запись «104» говорит о том, что речь идет о десятках тысяч. Десятичная дробь уточняет значение числа, причем количество цифр в ней обычно соответствует точности измерения, и запись «5,6» указывает, что точность измерения, вероятно, была около 1%.
Неосознанно мы очень часто используем такое представление чисел и в быту. Говоря: «Три с половиной миллиона», или пользуясь сокращенной записью «3,5 млн», мы фактически пользуемся научной нотацией (3,5 ´ 106). И, как оказывается, наша неявная склонность к логарифмическому представлению чисел имеет глубокое физиологическое обоснование: дело в том, что различные органы чувств в нашем теле тоже пользуются логарифмическими шкалами.
В 1858 году немецкий физик и психолог Густав Фехнер (
Биологические механизмы реализации закона
Таблица. Логарифмические шкалы
Шкала | Интервал | Запись | Выражение |
exp | степень экспоненты | n exp | en |
dex | степень десяти | n dex | 10n |
B | бел | n B | 10n |
dB | децибел | n dB | 100,1n |
mag | звездная величина | n mag или nm | 10–0,4n |
Взаимное соответствие между ними такое: 1 dex = 1 B = 10 dB = –2,5 mag » 2,303 exp. Заметим, что во всех этих шкалах значок после числа указывает не физическую размерность величины, а тип шкалы. Во всех логарифмических шкалах выражается отношение двух одноименных физических величин. Поэтому запись «0,5 dex» может означать как рост в 3,16… раза годового дохода компании (скажем, с 86 до 272 млн руб.), так и увеличение в 3,16… раза среднего удоя коров на ферме (скажем, с 1500 до 4750 литров в год).
Громкость и высота звука — белы, децибелы, октавы
В шкале обычных десятичных логарифмов единица измерения называется бел в честь американского изобретателя телефона Александера Белла (
Однако у единиц бел и децибел есть особенность, затрудняющая их применение за пределом акустики и электротехники. Дело в том, что эти логарифмические шкалы определяются
![]() Блеск в астрономии — величина пропорциональная логарифму светового потока. Однако коэффициент пропорциональности отрицателен (при основании логарифма больше единицы), поэтому самым ярким объектам на небе соответствует большая отрицательная величина (–26,8 для Солнца), а для самых тусклых — положительная (28 для едва различимых в телескоп звезд) |
Если амплитуду звуковой волны мы воспринимаем как громкость, то её частоту воспринимаем как высоту звука. И в этом случае справедлив закон
Яркость источников света — шкала звездных величин
Астрономы измеряют «блеск» небесных светил в звездных величинах. Это безразмерная величина, характеризующая освещенность, создаваемую небесным объектом вблизи наблюдателя. Как видим, словом блеск астрономы характеризуют зрительное восприятие, не совсем совпадающее с тем, что принято в быту. Блеск одного источника указывают путем его сравнения с блеском другого, принятого за эталон. Такими эталонами обычно служат специально подобранные звезды.
Основанием шкалы звездных величин служит корень пятой степени из 100. Это дань исторической традиции, не имеющая
Химическая чувствительность — шкала кислотности
Очень близка к шкале звездных величин и химическая шкала реакции среды, так называемая шкала кислотности. Напомню, что известный школьникам и всем, кто пользуется косметикой, водородный показатель pH определяется соотношением: pH = – lg [H+], где [H+] — концентрация положительных водородных ионов в растворе. При этом за
Как известно, первыми химическими индикаторами были наши вкусовые рецепторы, которыми сегодня пользуются только повара, а раньше пользовались и химики. Поэтому не удивительно, что в химии появилась логарифмическая шкала концентрации: сработал закон
![]() Шкала кислотности в зависимости от концентрации протонов в растворе (активности раствора) |
Восприятие психических явлений — шкала эмоций
На нескольких примерах мы убедимся, что не только физиологические, но и психические шкалы, определяющие силу наших эмоций, также имеют логарифмический характер: для своих субъективных оценок произведенного на нас впечатления мы подсознательно выбираем «ступеньки» в виде геометрической прогрессии.
В качестве общеизвестного примера начнем со «шкалы Ландау», по которой наш знаменитый физик оценивал заслуги своих коллег. Вот как об этом вспоминает академик В. Л. Гинзбург: «… Ландау имел «шкалу заслуг» в области физики. Шкала была логарифмическая (классу 2 отвечали достижения в 10 раз меньше, чем для класса 1). Из физиков нашего века класс 0,5 имел только Эйнштейн, к классу 1 относились Бор, Дирак, Гейзенберг и ряд других…»
Другие ученики великого физика рассказывают о шкале Ландау немного иначе: «Ландау присваивал великим
Остается неясным, логарифм по какому основанию — 10 или 2,512… — использовал Лев Ландау для определения уровня гениальности
Я уже отмечал, что в быту мы тоже нередко используем шкалу логарифмов. Примеры можно приводить долго. Так, богатых людей мы делим на миллионеров и миллиардеров. Города делим по населению на миллионные и стотысячные. Покупая продукты в магазине, стараемся экономить рубли, а задумываясь о покупке нового холодильника или телевизора, обращаем внимание лишь на сотни рублей. Как и в случае физиологических шкал, в бытовых эмоциональных вопросах мы воспринимаем не абсолютное, а относительное различие. При этом оно становится для нас заметным и значимым, когда превышает несколько процентов от измеряемой величины. Похоже, что чувствительность нашего «измерителя эмоций» близка к чувствительности глаза, уха и прочих физиологических рецепторов.
Рассмотрим одну из «эмоциональных» шкал, предложенных в последние годы.
![]() 7 октября над северной частью Судана взорвался астероид (точнее, метеороид) 2008 TC3 диаметром от 2 до 5 м. Взрыв соответствовал 1–2 кт в тротиловом эквиваленте. Вспышку в инфракрасных лучах снял спутник Meteosat-8. Фото: copyright 2008 EUMETSAT |
Туринская и палермская шкалы астероидной опасности
В 1999 году на конференции
В целом шкала Бинзела подобна шкале Рихтера, используемой сейсмологами для указания энерговыделения при землетрясениях. Обе они вполне доступны пониманию неспециалистов, в чём и заключается их несомненная польза. Туринская шкала позволяет классифицировать астероиды и другие небесные тела (с учетом их размера и скорости относительно нашей планеты) по 11 уровням степени их опасности для землян. Она учитывает не только вероятность столкновения астероида с Землей, но и потенциальные разрушения, к которым может привести катастрофа.
Как видно из таблицы, к нулевой категории отнесены те объекты, о которых с уверенностью можно сказать, что они не достигнут поверхности Земли; к первой — те, что всё же заслуживают внимательного слежения; ко второй, третьей и четвертой отнесены малые планеты, вызывающие оправданное беспокойство. В
Таблица. Туринская шкала опасности столкновения Земли с астероидами и кометами
Оценка опасности объекта | Балл | Краткая характеристика |
Безопасен | 0 | Вероятность столкновения в ближайшие десятилетия равна нулю. К этой же категории относят столкновения Земли с объектами, которые сгорят в атмосфере, не достигнув поверхности |
Заслуживает внимательного слежения | 1 | Вероятность столкновения крайне низка. Скорее всего, подобные тела в ближайшие десятилетия с Землей не встретятся |
Вызывает беспокойство | 2 | Вероятность столкновения низка, хотя тело пролетит довольно близко. Подобные события происходят нередко |
3 | Вероятность столкновения с телом, способным вызвать локальные разрушения, составляет не менее 1% | |
4 | Вероятность столкновения с телом, способным привести к региональным разрушениям, составляет свыше 1% | |
Явно угрожает | 5 | Вероятность столкновения с телом, способным вызвать катастрофу регионального масштаба, очень велика |
6 | То же – с вероятными глобальными последствиями | |
7 | То же – с неизбежными глобальными последствиями | |
Столкновение неизбежно | 8 | Вероятность катастрофических локальных событий – одно в 50-1000 лет |
9 | Вероятность катастрофических локальных событий – одно в 1000-100 000 лет | |
10 | Вероятность глобальной катастрофы (с изменением климата на планете) – не менее одного события в 100 000 лет |
Количественно это подтвердилось в недавно опубликованной профессиональной версии Туринской шкалы, названной Палермской шкалой опасности столкновения (
Как видим, свойственный человеческой физиологии и психике логарифмический закон расширяет динамический диапазон наших органов чувств, притупляя их реакцию на сильные раздражители и тем самым отодвигая болевой порог. Очевидно, в течение миллионов лет это способствовало выживанию вида Homo sapiens. Вопрос в том, не окажется ли это свойство нашей психики роковым для человечества в современную эпоху.
Владимир Сурдин, 14.10.2008
Новости партнёров