Чувств наших логарифмы

За фразой «всё познается в сравнении» стоит конкретная математическая формула

Человеческое ухо устроено таким образом, что при увеличении звукового давления на порядок звук кажется вдвое более громким, а при повышении вдвое его частоты, он кажется на октаву более высоким. Фото (Creative Commons license): Paul Sapiano

Потоки световой энергии, падающей на сетчатку нашего глаза от Солнца и от звезд, различаются во многие миллиарды раз! Но глаз видит и то, и другое. Ни один технический измерительный прибор не имеет такого широкого диапазона чувствительности. Чтобы производить измерения, применяются специальные усилители или «ослабители» (фильтры) сигнала, а наш глаз справляется с этой проблемой сам. И не только глаз. Мы слышим писк комара и рев авиалайнера, а ведь их звуковое давление тоже различается в миллиарды раз. Как же работают в столь широком диапазоне наши чувства? Оказывается, они используют одну «математическую хитрость» — преобразование измерительной шкалы.

В быту, как правило, мы используем для измерения различных величин линейные шкалы: для измерения длины — метры, мили и футы, для указания веса — граммы, тонны и фунты, а также градусы Цельсия или Фаренгейта — для температуры. В науке диапазон измерений значительно шире, чем в быту, поэтому ученые часто оперируют порядками величин, записывая числа в так называемой научной символике, обозначаемой на калькуляторах как «scientific notation». Например, вместо 56000 пишут 5,6 ´ 10⁴. По существу, это логарифмическая запись, хотя в показателе степени обычно оставляют только целую часть логарифма, а мантиссу — дробную часть логарифма — записывают в виде десятичной дроби. Это удобно: целый показатель степени сразу указывает область измерения — «порядок величины». В нашем примере запись «10⁴» говорит о том, что речь идет о десятках тысяч. Десятичная дробь уточняет значение числа, причем количество цифр в ней обычно соответствует точности измерения, и запись «5,6» указывает, что точность измерения, вероятно, была около 1%.

Неосознанно мы очень часто используем такое представление чисел и в быту. Говоря: «Три с половиной миллиона», или пользуясь сокращенной записью «3,5 млн», мы фактически пользуемся научной нотацией (3,5 ´ 10⁶). И, как оказывается, наша неявная склонность к логарифмическому представлению чисел имеет глубокое физиологическое обоснование: дело в том, что различные органы чувств в нашем теле тоже пользуются логарифмическими шкалами.

По-видимому, впервые это заметил французский физик Пьер Бугер (Pierre Bouguer, 1698–1758), обнаруживший в опытах с освещенными экранами, что глаз фиксирует относительное различие яркости поверхностей. А в виде четкого правила это открытие сформулировал немецкий физиолог Эрнст Вебер (Ernst Heinrich Weber, 1795–1878), изучавший мышечную и кожную чувствительность. Он установил, что мы воспринимаем не абсолютное, а относительное изменение силы раздражителя. Например, если в руке у вас гирька весом в 10 г, то вы уверенно ощущаете добавку к ней ещё такого же веса; но если вы держите вес в 10 кг, то добавление к нему 10-граммовой гирьки вы не ощутите. Позже это подтвердилось и для других органов чувств — зрения, слуха, вкуса. Выяснилось, что наша чувствительность относительна, и разрешающая способность органов чувств обычно составляет несколько процентов.

В 1858 году немецкий физик и психолог Густав Фехнер (Gustav Theodor Fechner, 1801–1887) сформулировал это математически: интенсивность воспринимаемого нами ощущения пропорциональна логарифму силы раздражения. Этот закон называется законом Вебера-Фехнера, или основным психофизическим законом. Нередко его формулируют так: «При изменении силы раздражителя в геометрической прогрессии, интенсивность ощущения меняется в арифметической прогрессии». Разумеется, область справедливости этого правила не безгранична; оно остается верным для раздражителей не слишком слабых (выше порога чувствительности) и не слишком сильных (ниже болевого порога).

Биологические механизмы реализации закона Вебера-Фехнера пока ещё не до конца ясны. Поэтому мы лишь отметим, как эта особенность нашего восприятия проявляется в науке и технике. Некоторые общепринятые логарифмические шкалы, определяемые выбором коэффициентов пропорциональности, приведены в таблице.

Таблица. Логарифмические шкалы

Шкала	Интервал	Запись	Выражение
exp	степень экспоненты	n exp	en
dex	степень десяти	n dex	10n
B	бел	n B	10n
dB	децибел	n dB	100,1n
mag	звездная величина	n mag или nm	10–0,4n

Взаимное соответствие между ними такое: 1 dex = 1 B = 10 dB = –2,5 mag » 2,303 exp. Заметим, что во всех этих шкалах значок после числа указывает не физическую размерность величины, а тип шкалы. Во всех логарифмических шкалах выражается отношение двух одноименных физических величин. Поэтому запись «0,5 dex» может означать как рост в 3,16… раза годового дохода компании (скажем, с 86 до 272 млн руб.), так и увеличение в 3,16… раза среднего удоя коров на ферме (скажем, с 1500 до 4750 литров в год).

Громкость и высота звука — белы, децибелы, октавы

В шкале обычных десятичных логарифмов единица измерения называется бел в честь американского изобретателя телефона Александера Белла (Alexander Graham Bell, 1847–1922). Чаще применяется её десятая часть — децибел. Обе единицы в основном используются в акустике для измерения уровня интенсивности звука и звукового давления, а также в электротехнике. Разность уровней в 1 дБ означает отношение в 10^0,1 =1,2589… раз. Три децибела почти точно означают удвоение. В акустике за ноль-пункт принимают еле слышимый звук (давление около 2 ´ 10^–5 Н/м²), так что при уровне громкости в 90 дБ звуковое давление на барабанную перепонку в миллиард раз больше, чем при едва уловимом шепоте.

Однако у единиц бел и децибел есть особенность, затрудняющая их применение за пределом акустики и электротехники. Дело в том, что эти логарифмические шкалы определяются по-разному для разных физических величин. Введенное выше определение [lg (I₁/I₂)] используется только для «энергетических» величин, к которым относятся мощность, энергия, поток энергии… А для «силовых» величин (напряжение, сила тока, давление, напряженность поля…) используется иное определение бела [2 lg (p₁/p₂)] и децибела [20 lg (p₁/p₂)], поскольку, к примеру, интенсивность звука (поток энергии) и звуковое давление связаны соотношением I ~ p². Неоднозначность белов и децибелов делает более удобной единицу dex, которая применяется всё чаще.

Блеск в астрономии — величина пропорциональная логарифму светового потока. Однако коэффициент пропорциональности отрицателен (при основании логарифма больше единицы), поэтому самым ярким объектам на небе соответствует большая отрицательная величина (–26,8 для Солнца), а для самых тусклых — положительная (28 для едва различимых в телескоп звезд)

Если амплитуду звуковой волны мы воспринимаем как громкость, то её частоту воспринимаем как высоту звука. И в этом случае справедлив закон Вебера-Фехнера: разные звуки воспринимаются нами как равноотстоящие по высоте, если равны отношения их частот. Для измерения музыкальных интервалов применяются логарифмические единицы. Основная среди них — октава, интервал между двумя звуками, частота одного из которых вдвое больше частоты другого. Понятие октавы становится всё более популярным и за пределом музыкальной сферы, поскольку числа вида 2ⁿ широко используются в импульсной электронике, в частности, в вычислительной технике. Правда, в этих областях слово октава обычно заменяют словом бит (двоичный разряд).

Яркость источников света — шкала звездных величин

Астрономы измеряют «блеск» небесных светил в звездных величинах. Это безразмерная величина, характеризующая освещенность, создаваемую небесным объектом вблизи наблюдателя. Как видим, словом блеск астрономы характеризуют зрительное восприятие, не совсем совпадающее с тем, что принято в быту. Блеск одного источника указывают путем его сравнения с блеском другого, принятого за эталон. Такими эталонами обычно служат специально подобранные звезды.

Основанием шкалы звездных величин служит корень пятой степени из 100. Это дань исторической традиции, не имеющая какого-либо рационального оправдания. Для целей астрономической фотометрии вполне хватило бы белов, но звездные величины родились гораздо раньше, и теперь от них трудно отказаться. Обозначают звездную величину латинской буквой «m» (от лат. magnitudo — величина). Среди странностей этой шкалы есть ещё одна — её направление обратное: чем больше значение звездной величины, тем слабее блеск объекта. Например, звезда 2-й звездной величины (2^m) в 2,512 раза ярче звезды 3-й величины (3^m) и в 2,512 ´ 2,512 = 6,310 раза ярче звезды 4-й величины (4^m), и т.д.

Химическая чувствительность — шкала кислотности

Очень близка к шкале звездных величин и химическая шкала реакции среды, так называемая шкала кислотности. Напомню, что известный школьникам и всем, кто пользуется косметикой, водородный показатель pH определяется соотношением: pH = – lg [H⁺], где [H⁺] — концентрация положительных водородных ионов в растворе. При этом за ноль-пункт принимают чистую воду при комнатной температуре (нейтральная среда), имеющую [H⁺] =10^–7. Далее при повышении кислотности значение pH уменьшается — чем не шкала звездных величин? Чем выше кислотность, тем ниже значение индекса, только основанием логарифма служит не 2,512… (как у звездных величин), а 10.

Как известно, первыми химическими индикаторами были наши вкусовые рецепторы, которыми сегодня пользуются только повара, а раньше пользовались и химики. Поэтому не удивительно, что в химии появилась логарифмическая шкала концентрации: сработал закон Вебера-Фехнера, которому подчиняются все наши чувства, в том числе и органы вкуса.

Шкала кислотности в зависимости от концентрации протонов в растворе (активности раствора)

Восприятие психических явлений — шкала эмоций

На нескольких примерах мы убедимся, что не только физиологические, но и психические шкалы, определяющие силу наших эмоций, также имеют логарифмический характер: для своих субъективных оценок произведенного на нас впечатления мы подсознательно выбираем «ступеньки» в виде геометрической прогрессии.

В качестве общеизвестного примера начнем со «шкалы Ландау», по которой наш знаменитый физик оценивал заслуги своих коллег. Вот как об этом вспоминает академик В. Л. Гинзбург: «… Ландау имел «шкалу заслуг» в области физики. Шкала была логарифмическая (классу 2 отвечали достижения в 10 раз меньше, чем для класса 1). Из физиков нашего века класс 0,5 имел только Эйнштейн, к классу 1 относились Бор, Дирак, Гейзенберг и ряд других…»

Другие ученики великого физика рассказывают о шкале Ландау немного иначе: «Ландау присваивал великим ученым-физикам всего мира «звездные» номера. Вы знаете, что звезда первой величины — это очень яркая звезда, звезда второй величины — менее яркая и т.д. Эйнштейну, Бору и Ньютону Ландау присвоил половинную величину — 0,5. Дирак, Гейзенберг — это звезды первой величины. Себе он присваивал вторую величину».

Остается неясным, логарифм по какому основанию — 10 или 2,512… — использовал Лев Ландау для определения уровня гениальности физиков-теоретиков. Несомненно лишь одно: для этих сугубо эмоциональных, субъективных оценок он использовал логарифмическую шкалу.

Я уже отмечал, что в быту мы тоже нередко используем шкалу логарифмов. Примеры можно приводить долго. Так, богатых людей мы делим на миллионеров и миллиардеров. Города делим по населению на миллионные и стотысячные. Покупая продукты в магазине, стараемся экономить рубли, а задумываясь о покупке нового холодильника или телевизора, обращаем внимание лишь на сотни рублей. Как и в случае физиологических шкал, в бытовых эмоциональных вопросах мы воспринимаем не абсолютное, а относительное различие. При этом оно становится для нас заметным и значимым, когда превышает несколько процентов от измеряемой величины. Похоже, что чувствительность нашего «измерителя эмоций» близка к чувствительности глаза, уха и прочих физиологических рецепторов.

Рассмотрим одну из «эмоциональных» шкал, предложенных в последние годы.

7 октября над северной частью Судана взорвался астероид (точнее, метеороид) 2008 TC3 диаметром от 2 до 5 м. Взрыв соответствовал 1–2 кт в тротиловом эквиваленте. Вспышку в инфракрасных лучах снял спутник Meteosat-8. Фото: copyright 2008 EUMETSAT

Туринская и палермская шкалы астероидной опасности

В 1999 году на конференции ООН по мирному использованию космического пространства Международный астрономический союз (International Astronomical Union, IAU) представил систему оценки угрозы возможных столкновений Земли с астероидами и кометами. Степень угрозы указывается по 11-бальной шкале, разработанной американским астрономом Ричардом Бинзелом. Поскольку автор впервые представил эту шкалу своим коллегам на симпозиуме в Турине, за ней закрепилось название Туринская шкала астероидной опасности.

В целом шкала Бинзела подобна шкале Рихтера, используемой сейсмологами для указания энерговыделения при землетрясениях. Обе они вполне доступны пониманию неспециалистов, в чём и заключается их несомненная польза. Туринская шкала позволяет классифицировать астероиды и другие небесные тела (с учетом их размера и скорости относительно нашей планеты) по 11 уровням степени их опасности для землян. Она учитывает не только вероятность столкновения астероида с Землей, но и потенциальные разрушения, к которым может привести катастрофа.

Как видно из таблицы, к нулевой категории отнесены те объекты, о которых с уверенностью можно сказать, что они не достигнут поверхности Земли; к первой — те, что всё же заслуживают внимательного слежения; ко второй, третьей и четвертой отнесены малые планеты, вызывающие оправданное беспокойство. В пятую-седьмую категории включены тела, явно угрожающие Земле, а объекты из последних трех несомненно столкнутся с нашей планетой, причем последствия для её биосферы могут быть локальными, региональными или глобальными. Туринская шкала оказалась полезной для классификации и объяснения публике возможных последствий космических столкновений. Хотя она не содержит четких количественных критериев, всё же можно заметить, что с переходом к следующему баллу, эмоциональное напряжение возрастает «на порядок».

Таблица. Туринская шкала опасности столкновения Земли с астероидами и кометами

Оценка опасности объекта	Балл	Краткая характеристика
Безопасен	0	Вероятность столкновения в ближайшие десятилетия равна нулю. К этой же категории относят столкновения Земли с объектами, которые сгорят в атмосфере, не достигнув поверхности
Заслуживает внимательного слежения	1	Вероятность столкновения крайне низка. Скорее всего, подобные тела в ближайшие десятилетия с Землей не встретятся
Вызывает беспокойство	2	Вероятность столкновения низка, хотя тело пролетит довольно близко. Подобные события происходят нередко
	3	Вероятность столкновения с телом, способным вызвать локальные разрушения, составляет не менее 1%
	4	Вероятность столкновения с телом, способным привести к региональным разрушениям, составляет свыше 1%
Явно угрожает	5	Вероятность столкновения с телом, способным вызвать катастрофу регионального масштаба, очень велика
	6	То же – с вероятными глобальными последствиями
	7	То же – с неизбежными глобальными последствиями
Столкновение неизбежно	8	Вероятность катастрофических локальных событий – одно в 50-1000 лет
	9	Вероятность катастрофических локальных событий – одно в 1000-100 000 лет
	10	Вероятность глобальной катастрофы (с изменением климата на планете) – не менее одного события в 100 000 лет

Количественно это подтвердилось в недавно опубликованной профессиональной версии Туринской шкалы, названной Палермской шкалой опасности столкновения (Palermo Technical Impact Hazard Scale). Вместо баллов в ней используется непрерывный индекс PS (от Palermo Scale), определенный в виде логарифма отношения ожидаемой вероятности столкновения с конкретным объектом на интервале расчетного времени к фоновой вероятности столкновения с подобными объектами за это же время. Таким образом, степень страха метеоритной опасности также имеет логарифмический характер.

Как видим, свойственный человеческой физиологии и психике логарифмический закон расширяет динамический диапазон наших органов чувств, притупляя их реакцию на сильные раздражители и тем самым отодвигая болевой порог. Очевидно, в течение миллионов лет это способствовало выживанию вида Homo sapiens. Вопрос в том, не окажется ли это свойство нашей психики роковым для человечества в современную эпоху.

Владимир Сурдин, 14.10.2008

Новости партнёров