Миллион долларов на размышление
За решение «задач тысячелетия» математикам обещают хорошо заплатить. Но нет гарантий, что математики согласятся взять деньги за решённые задачи
![]() Лист Мёбиуса иногда ошибочно называют лентой. Это неправильно потому, что лента должна быть ограничена двумя кривыми, или краями. Как нетрудно убедиться, у листа Мёбиуса не только одна сторона, у него и всего одна кромка. По этой кромке его можно вклеить в сферу, если в ней прорезать отверстие. Поверхность, которая получится в итоге, называют проективной плоскостью. Она не только двухмерная, как и поверхность сферы или тора, но и односторонняя, как поверхность листа Мёбиуса. Вдобавок к этому ее нельзя вложить в обычное трехмерное пространство, а потому и представить ее себе выше человеческих сил. Фото (
|
Сколько уже говорено про то, что российские ученые, при всей их квалификации, получают нищенские зарплаты. Тем не менее именно ученые, в отличие от различных топ-менеджеров, поп-звезд и супер-спортсменов, способны буквально в одночасье заработать миллион долларов. Для этого надо всего лишь сесть, подумать и решить одну из математических «проблем тысячелетия».
Почем проблема
По сравнению с прошлым столетием количество таких проблем сократилось почти в четыре раза. Когда в самом начале XX века знаменитый немецкий математик Давид Гильберт (
Первой из упомянутых им и последней из решенных проблем (всего к концу века двадцать из них было решено полностью) стало доказательство знаменитой Великой теоремы Ферма (
Новый список проблем, составленный уже в начале этого века, насчитывает всего семь задач. Коренное отличие нынешнего списка, названного «Задачи тысячелетия» (
Что значит материальный стимул
Первый миллион Клея был присужден 18 марта 43-летнему российскому математику, в недавнем прошлом сотруднику
Если натянуть на мячик эластичную ленту, то, постепенно стягивая ее, не разрывая и нигде не отрывая от поверхности, можно собрать ее в одну точку. Про нее тогда говорят, что она «гомотопна нулю». Если же вы натянете такую ленту на бублик, такой же трюк уже может и не пройти: не всякая кривая на бублике будет гомотопна нулю.
В
В свое время один из крупнейших математиков рубежа XIX и ХХ веков Анри Пуанкаре (
![]() Многообразие Пуанкаре — пример трехмерной поверхности, которая одновременно чем-то похожа на мячик, поскольку любой «кривой» (ее роль играет двухмерная поверхность) ее можно разделить на две части, и на бублик, поскольку не любую такую «кривую» можно непрерывным образом стянуть в точку. Хотя представить себе такое невозможно, ее свойства можно изучать на бесконечной решетке из додекаэдров, ребра которых определенным образом склеены. Скриншот программы «Curved Spaces», Jeff Weeks |
Но совершив ошибку, Пуанкаре сам же ее и обнаружил: он построил пример поверхности, где каждая кривая гомологична нулю, но не каждая — нулю гомотопна. Иначе говоря, эта поверхность может быть разделена на две части разрезанием даже вдоль таких кривых, которые нельзя непрерывным образом стянуть в точку. Этот пример получил название «
И тогда Пуанкаре сделал свое не менее знаменитое предположение: если всякую кривую на поверхности произвольной размерности можно стянуть в точку (она гомотопична нулю), то эта поверхность — сфера (относится к нулевому роду). Для двухмерных поверхностей, как мы видели, это утверждение очевидно. Его оказалось довольно несложно доказать для размерностей выше пятой. Самым тяжелым, но одновременно и самым важным оказалось ее доказательство в трехмерном случае. На протяжении всего ХХ века найти его так и не удалось.
Однако после того как за решение проблемы было объявлено солидное вознаграждение, таких доказательств нашлось сразу два. В начале 2002 года профессор математики из Университета Саутгемптона (
А в конце того же 2002 года математик из Санкт-Петербурга Григорий Перельман поместил свой препринт на сайте
Однако сам виновник торжества на свои чествования не явился. Более того, он уволился с работы и, очевидно, прекратил занятия математикой. Перельман отказался от поездки в Мадрид, а потом и от присужденной ему во время конгресса престижной
Пока известий о том, что Григорий Перельман согласился принять клеевские деньги, не поступало, как не было и известий об отказе от них. Впрочем, причин торопиться у него нет: процесс вручения денежного эквивалента «задач тысячелетия» временем не ограничен, и Григорий может запросить причитающуюся сумму в любой удобный для него момент.
![]() Легенда гласит, что Пифагор, узнав от гонца об открытии несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали, так расстроился, что велел гонца утопить. А о том, что в прямоугольнике, стороны которого относятся как 3 к 4, диагональ вполне соизмерима с каждой из них, образуя отношения 3:5 и 4:5, было хорошо известно в Древнем Египте, а может даже раньше. Фото (
|
Судьба оставшихся миллионов
Гипотеза Берча и Свинертон-Дайера
Уравнения вида xn + yn + zn + … = tn на множестве целых чисел привлекали внимание математиков с античных времен. Решения самого простого из них x2 + y2 = z2 (например, знаменитых «египетский треугольник» — 32 + 42 = 52) было известно еще в Вавилоне, а полностью его исследовал еще в III веке н. э. александрийский математик
Универсального метода вычисления для подобных уравнений не существует. Однако еще во времена долгих безуспешных попыток доказать теорему Ферма стало известно об их связи с простыми числами, а потом и с некоторыми классами плоских кривых. Корни диофантовых уравнений, простые числа и точки пересечения плоских кривых описываются с помощью некоторых специальных функций — например, дзета-функции Римана или ее обобщения,
Гипотеза Ходжа
Исследовать сложный объект тем сложнее, чем сложнее он устроен. Поэтому математики обычно сначала пытаются разложить его на объекты более простые, работать с которыми, как понятно, проще. Проблема в том, что просто разложить объект на составляющие получается далеко не всегда. Иногда при этом возникают новые части, неизвестно откуда взявшиеся и непонятно что из себя представляющие. Либо, наоборот, при более детальном исследовании выясняется, что каких-то деталей явно не хватает. Проще говоря, исследуя просто кирпичи, мы не можем себе представить, что собой представляет составленный из них дом, как он выглядит и по каким правилам его строят. Для этого нужно, как минимум, изучить еще и заключенное между ними пустое пространство комнат. Профессор Кембриджа Вильям Ходж (
![]() Модель самолета F-16 в аэродинамической трубе NASA. Благодаря дыму и лазерной подсветке, движение воздуха вблизи корпуса модели наблюдать лучше. В математической форме оно описывается уравнение Навье-Стокса, которое пока удается решить лишь в довольно специальных частных случаях. Доказать теорему существования и единственности решения для него в общем случае не удается. А именно от этого зависит осмысленность применения численных методов. Фото: NASA |
Уравнения Навье-Стокса
Когда вы плывете по озеру на лодке, от нее разбегаются волны. Вслед за летящим самолетом или мчащимся автомобилем возникают турбулентные потоки — подобные волнам воздушные завихрения. Все эти явления описываются созданными еще в 1822 году уравнениями Навье-Стокса. Несмотря на то что уравнения созданы уже достаточно давно, как их решать, до сих пор никто не знает. Мало того, никто пока даже не знает, существует ли вообще способ их решения. В то же время ими весьма активно пользуются не только математики, но и конструкторы самолетов, автомобилей и кораблей. Правда, использовать их можно пока только методом НТ («научного тыка»): подставляя уже известные значения скорости, времени, давления, плотности и так далее и проверяя, подходят ли они друг к другу. Если кто-нибудь найдет метод решения, пользоваться уравнениями можно будет и в противоположном направлении, вычисляя из равенства все необходимые параметры. Это сделает ненужными аэродинамические испытания. Впрочем, премию математик получит и в том случае, если докажет, что метода решения нет.
Проблема Решения-Проверки (Проблема Кука-Левина)
Если перед человеком ставят задачу найти в лесу закопанный там в прошлом веке клад, он может потратить на поиски и год, и два, и десятилетие, а то и всю жизнь. Все происходит гораздо быстрее, когда ему говорят: «Клад зарыт под единственной в лесу осиной. Пойди и проверь». Примерно то же происходит при решении любой задачи. Все мы прекрасно понимаем, что на проверку какого-нибудь решения времени уходит обычно меньше, чем на само решение. Понимать-то понимаем, а доказать сей простой и, казалось бы, логичный факт, как оказалось, не можем. А поэтому, если вам удастся найти такую задачу, проверка правильности решения которой, независимо от способа проверки, будет занимать времени больше, чем само решение — срочно связывайтесь с институтом Клея, и через два года вы станете обладателем миллиона долларов. Решение сформулированной в 1971 году «проблемы Кука», по словам ученых, приведет к настоящей революции в области криптографии и к появлению систем шифрования, которые просто невозможно будет взломать. Очень грубо: появятся шифры, проверка правильности взлома которых будет происходить бесконечно долго.
Гипотеза Римана
Среди всей массы чисел особое место занимают числа, которые невозможно разделить ни на что более мелкое, чем они сами: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и так далее. Такие числа называются «простыми», и они для математиков крайне важны. Как они распределяются по числовому ряду — пока известно одному Богу. Риман в 1859 году даже не предложил способ их поиска или проверки. Проверить, является ли число простым или нет, можно только попробовав разделить его на все меньшие его простые числа (самое большое из известных на сегодняшний день простых было найдено в августе 2008 года и состоит из 12 978 189 цифр). Он просто нашел метод, по которому можно определить максимальное количество простых чисел, не превышающих некое заданное число. На сегодня математики проверили этот метод с полутора триллионами «простых». Сбоев пока найдено не было. Однако это вовсе не говорит о том, что метод не споткнется на полтора триллиона первой проверке. А поскольку гипотеза Римана, перешедшая в новый список еще из списка Гильберта, активно используется для расчета систем безопасности передачи данных в сотовых сетях, в сети Интернет и так далее, ее доказательство имеет весьма практический смысл. И миллион здесь платить есть за что.
![]() Многие системы безопасности — в частности, те, что защищают DVD от незаконного копирования, — основываются на свойствах простых чисел. Защита отказывается тем надежнее, чем длиннее число. Но иногда защиту удается сломать, подобрав простое число значительно меньшей длины — что именно и случилось с DVD. Иллюстрация: Олег Сендюрев |
Уравнения Янга-Миллса
Свои квантовые уравнения американские физики
Валерий Чумаков, 02.04.2010
Новости партнёров