Фото №1 - Парадокс многообразной одинаковости

Основной предмет изучения в теоретических науках — какое всё на свете одинаковое. Для выражения одинаковости придуманы десятки разных терминов, разобраться с которыми постарался Александр Сергеев.

«Все животные равны» — гласила 7-я заповедь «Скотского хутора» Джорджа Оруэлла. Но потом к ней добавили оговорку о том, что некоторые животные равнее других, и это отвлекает от парадоксального смысла исходной формулировки. Чему, собственно, равны все животные? Друг другу? Лошадь равна корове, а каждая из них — курице? Именно так: равенство, оказывается, бывает лишь тогда, когда есть неравенство.

Это не софистика, а элементарная логика: чтобы утверждать равенство двух объектов, надо сначала указать на них как на разные. Вот, например: 2 х 2 = 4, правда? Но ведь три символа «2», «х» и «2» — совсем не то же самое, что один символ «4». Равны между собой не символы, а соответствующие им значения. Это и есть смысл равенства: о разных записях говорится, что они эквивалентны в количественном отношении.

Эквивалентность — это обобщение понятия равенства, означающее, что объекты в определенном отношении взаимозаменяемы. Как «дважды два» и «четыре» в отношении численного значения или как курица и лошадь у Оруэлла в отношении их прав: животное меняешь — права остаются. Так что, говоря об эквивалентности, важно четко обозначать ее контекст: какие свойства мы различаем, а какие приравниваем. Вот почему тривиальная, казалось бы, идея одинаковости обросла неимоверным числом синонимов (включая само слово «синоним»). Так, равенство — это совпадение значений для разных записей. Если же записи (или другие объекты) одинаковы и различаются лишь местоположением, то говорят об их идентичности. В записи 4 = 4 четверки идентичны, но одна стоит слева от знака равенства, а другая — справа, так что это разные символы, и при расчете гонорара их учтут по отдельности. Совсем другой смысл вкладывается в понятие тождественность. Тут уже мы имеем дело не с отдельными значениями, а с функциями, зависящими от переменной величины. Если для двух функций потребовать равенства, то получится уравнение — задача на отыскание подходящих значений переменной (корней). А вот если значения функций совпадают при любых значениях переменной, то имеет место тождество.

В логике говорят о равносильности утверждений. (Сила в правде? Или в истине?) В геометрии конгруэнтными называют фигуры, совпадающие по форме и размерам и различающиеся только положением (то есть идентичные). Если же размеры фигур всё же могут отличаться, то говорят о подобии. Когда фигура, будучи повернута, отражена, сдвинута или иным образом изменена, вновь совпадает сама с собой, как будто ничего не менялось, такую эквивалентность называют симметрией. Пропустим всевозможные изоморфизмы и гомологии, перейдем к физике. Здесь обожают однородность — одинаковость чего-либо (допустим, температуры или метрики) во всех точках пространства, изотропность — одинаковость по всем направлениям (скорости света, скажем) и, конечно, сохранение (оно же постоянство, оно же неизменность) — одинаковость значения той или иной величины (например, энергии или импульса) в разные моменты времени. Это всё тоже симметрии.

Но нет более глубокого и универсального инструмента для познания природы одинаковости, чем понятие инвариантности, которое обобщает почти всё, что упоминалось выше. Инвариант — это свойство объекта, которое «не варьируется» по ходу его жизни или иных трансформаций. По крайней мере пока объект остается самим собой. Можно сказать, что совокупность инвариантов — это сущность объекта в смысле античного противопоставления сущности и акциденции (неотъемлемого и преходящего). Вся современная физика строится вокруг разных инвариантов (в законах сохранения и других симметриях). А суть теории относительности сводится к тому, что законы природы инвариантны относительно смены системы отсчета. Это крайне важная идея: ведь система отсчета выбирается нами произвольно, и сущность физических явлений не должна от нее зависеть. (Так что теорию Эйнштейна правильнее бы называть теорией абсолютности.)

Поиск инвариантов и изучение того, как из них в разных «ракурсах» рождается всё разнообразие мира, представляют собой основное занятие всех теоретических наук. Можно сказать, что наука — это поиск одинакового в разном и разного в одинаковом.