Хронограф
18152229
29162330
310172431
4111825
5121926
6132027
7142128

<июль>

Путеводители

Профессор Успенский: «А здесь я все-таки привык…». Часть I

Многие гуманитарии не любят математики и боятся ее, не догадываясь, что она им необходима

Владимир Андреевич Успенский. Фото (Creative Commons license): Андрей Романенко

Очень даже может быть, что математика — гуманитарная наука, и гуманитариев непременно следует ей обучать, потому что она учит отличать истину от лжи, смысл от бессмыслицы и понятное — от непонятного.

Математика — наука демократичная: в ней студент не обязан верить академику, и академику нужно, как и студенту, доказывать теорему, а не давить авторитетом. В общем, математика способствует тому, чтоб интеллект не только «технаря», но и гуманитария развивался в правильном направлении. Беда, однако, в том, что в наших школах преподают не ту математику, и редкий школьник не приобретает устойчивой ненависти к этому предмету, о чем профессор мехмата МГУ Владимир Андреевич Успенский сообщил на вручении ему премии «Просветитель» 18 ноября 2010 года. Дело в том, что преимущественно для гуманитариев — или, как он сказал на состоявшейся после награждения пресс-конференции, для «образованных дилетантов» — Успенский выпустил книгу «Апология математики». За эту книгу фонд «Династия», основанный Дмитрием Борисовичем Зиминым, в ноябре 2010-го вручил ему премию «Просветитель», почти подгадав к 80-летию профессора.

Эта книга — сборник статей, написанных Успенским с 1965-го по 2009 год.

Что касается их тематики, пишет автор в предисловии, все они либо прямо относятся к той не имеющей чётких границ области знания, которую иногда именуют философией математики, либо в той или иной степени примыкают ней.

Зачем гуманитариям математика и нельзя ли обойтись без нее, — с этим вопросом (и со множеством других) корреспондент «Вокруг света» Анастасия Нарышкина оказалась 2 декабря 2010 года у профессора на кухне, с рюмкой в одной руке — с мороза — и диктофоном в другой.

— Начнем со звяка, — сказал профессор и чокнулся с корреспондентом, задавшим ему первый вопрос — про «Апологию математики». — А насчет книжки следующее: она вышла в конце августа 2009 года. Тираж небольшой — три тысячи. Но говорят, что для такой литературы он не такой уж и маленький. Он постепенно расходился и к весне разошелся совсем. Сейчас то же издательство «Амфора» выпустило новый тираж, с исправленными опечатками. Этот новый тираж я впервые увидел на церемонии награждения и с удовлетворением убедился, что опечатки действительно исправлены.

— Вы ожидали, что у книги будет такой успех?

«Главная цель обучения гуманитариев математике — психологическая. Эта цель состоит не столько в сообщении знаний и даже не столько в обучении методу, сколько в изменении — нет, не в изменении, а в расширении психологии обучающегося, в привитии ему строгой дисциплины мышления. Помимо дисциплины мышления я бы назвал еще три важнейших умения, выработке которых должны способствовать математические занятия. Перечисляю их в порядке возрастания важности: первое — это умение отличать истину от лжи; второе — это умение отличать смысл от бессмыслицы; третье — это умение отличать понятное от непонятного».

— Совершенно не ожидал. Но наибольшее потрясение у меня было, когда в конце 2007 года журнальный вариант статьи «Апология математики, или О математике как части духовной культуры», давшей название всему сборнику, напечатали в «Новом мире», причём в двух номерах, с продолжением, — кажется, прежде такое допускалось только для романов. Причём редакция меня честно предупредила, что опубликование в их журнале представляется маловероятным. Но для меня было важно опубликовать статью не в математическом издании, а в «журнале художественной литературы и общественной мысли», как называет себя «Новый мир». А другую мою статью, «Гуманитарное и математическое: преодоление барьера», также вошедшую в сборник, тогда же напечатал «литературно-художественный и общественно-политический журнал» «Знамя». И за это я благодарен обоим журналам. Тем самым утверждалось право математики на место в общественном сознании и в духовной культуре. Мне представлялось также существенным хотя бы намекнуть, что математика помогает лучше понять устройство окружающего нас мира. Простой пример: вряд ли человечество столь быстро пришло бы к пониманию шарообразности Земли, если бы в умах людей уже не существовало математическое понятие шара. Понимание таких парадоксальных свойств нашей Вселенной, как конечность и искривлённость, было бы затруднительно, если бы в математике уже не было готовых геометрических образований с названными свойствами.

— А как вы начали писать? Почему?

— Пишет человек для удовольствия. Сейчас я объясню, как это получилось. Я вообще математик по историческому недоразумению.

— Как так?

— Почему в Советском Союзе была развита так сильно математика? Когда я поступал в МГУ — это был 1947 год — думаю, что мы были на первом месте в мире в математике и, безусловно, на первом месте в шахматах. Дело в том, что этим двум сферам деятельности удалось быть свободными от советской идеологии. Ну, может, правильнее было бы сказать, что у нас было тогда не первое, а одно из первых мест в математике. Мой учитель Колмогоров какую-то часть своей жизни — не на протяжении всей жизни, а какую-то ее часть — многими воспринимался как первый математик мира. Это было засвидетельствовано премией, которую ему вручили в 1963 году. Как вы, конечно, знаете, Нобелевских премий по математике нет. Есть одно увлекательное объяснение этому — «Cherchez la femme!» — но это, видимо, вранье. Хотя я допускаю, что Нобель не любил человека по имени Миттаг-Леффлер, который был тогда первый математик Швеции и который, скорее всего, получил бы эту премию.

В 1960-х годах возникла такая как бы конкурирующая с Нобелевской премия — Бальцановская. Нобелевскую премию вручает шведский король, Бальцановскую — итальянский президент. Но главная разница в том, что Нобелевскую премию дают по раз и навсегда установленным номинациям: есть, скажем, медицина, есть химия, ну и так далее. А у Бальцановской премии нет фиксированного списка номинаций: сегодня дают за музыку, завтра еще за что-нибудь. Размер Бальцановской премии больше, чем у Нобелевской. Первое присуждение, в 1961 году, было весьма примечательным: они присудили ее Нобелевскому фонду. А вот второе присуждение, в 1962-м, было более содержательным: папе Иоанну XXIII, композитору Хиндемиту, неизвестному у нас, но известному на западе историку Сэмюэлю Морисону (он исследователь истории американских индейцев), математику Колмогорову, замечательному биологу Карлу фон Фришу, разгадавшему язык пчел. Вы знаете об этом языке пчел?

Вручение Бальцановской премии 2010 года известному бразильскому математику Жакобу Палишу (Jacob Palis). Фото: © 2008 Fondazione Internazionale Balzan

Известно следующее: пчелы вылетают из улья и летят в разные стороны. Когда какая-то пчела натыкается на что-то интересное, она сообщает другим пчелам две вещи: направление и расстояние. Как? Движениями тела. Чтобы понять это, Фриш делал совершенно фантастические опыты. Я читал когда-то, это безумно увлекательно. Когда Колмогорову дали эту премию, это было жестом его официального мирового признания.

Так вот, я решал, кем мне быть. Если бы я родился в другое время и в другой стране, я бы стал юристом. Ну, вы знаете, что в Англии адвокаты делятся на две категории: солиситоры и барристеры. Барристер (barrister) — это тот, кто выступает в суде, а солиситор (solicitor) — тот, кто готовит дело. Я, скорее всего, был бы солиситором, и даже не солиситором, а теоретиком, скажем, по государственному, по конституционному праву. Или еще более интересная вещь — церковное право. Но в Советском Союзе заниматься этим было бессмысленно. Литературоведением — тоже бессмысленно, можно было писать только дифирамбы или поношения, как прикажут. Как печально констатировал Пастернак, «кому быть живым и хвалимым, кто должен быть мертв и хулим, — известно у нас подхалимам влиятельным только одним».

Биология была разгромлена, а ведь у нас была потрясающая биологическая школа. Химию тоже пытались громить — так, теория резонанса, которую разрабатывал Нобелевский лауреат Паулинг (Linus Carl Pauling, 1901–1994), была объявлена идеалистической, а сам Паулинг — реакционером. Но он же, когда его фамилия переводилась как Полинг, был, наоборот, положительным борцом за мир и лауреатом Нобелевской премии мира. Он был дважды лауреатом Нобелевской премии — по химии за резонансную теорию образования химических связей, которая в СССР была признана реакционной, и за борьбу против ядерного оружия.

Даже в физике была попытка: дескать, квантовая теория и теория относительности — это идеализм. Ведь в квантовой теории один из постулатов — что результат наблюдения зависит от процедуры наблюдения, что сам процесс наблюдения меняет результат. Например, чтобы наблюдать этот стакан, я должен его осветить, но свет, как известно, давит на то, что он освещает. Давление света приводит к тому, что со стаканом происходит какое-то изменение. Таким образом, стакан меняется вследствие наблюдения. Но изменение стакана столь незначительно по сравнению с размерами стакана, что не улавливается никакими приборами, и им можно пренебречь. А вот если наблюдать элементарную частицу, то её состояние, вследствие процесса наблюдения, меняется на заметную величину — заметную, опять же, в сравнении с её размерами. Оно и понятно: ведь чтобы наблюдать частицу, вы её вынуждены облучить, и от этого облучения что-то с ней происходит. Но всё это, с точки зрения так называемого «диалектического материализма», который велено было считать единственно верной идеологией, есть махровый идеализм, или, как писал Ленин, «сползание к фидеизму и поповщине».

Одним словом, я тогда думал, чем мне заниматься.

— И вы в столь юном возрасте все это проанализировали?

— Не то что я сел и проанализировал, но было очевидно, что нельзя идти в гуманитарии.

— А что родители говорили?

— Ничего не говорили. Родитель мой был драматург, мама была театральная переводчица, а я… сам, один такой выродок (вот мой младший брат Борис — он филолог, историк, искусствовед). Интерес к математике у меня был еще с довоенных времен. Я помню, в Новосибирске, в эвакуации я ходил в букинистический магазин и покупал книги по высшей математике, ничего в них не понимая, выбирая ради красивости названия. Сколько мне было? Тринадцать лет мне исполнилось в поезде на обратном пути из эвакуации, в ноябре 1943 г. В то время при Московском университете были замечательные школьные математические кружки, и я пошел в такой кружок. Когда я был в восьмом классе, то получил первую премию на Московской математической олимпиаде для школьников. И мой руководитель кружка, Евгений Борисович Дынкин (ссылка ведет на его личную страничку на сайте Корнеллского университета), сказал, что нечего вам делать в школе, идите в университет — и дали мне от университета бумагу, чтобы мне разрешили перескочить через девятый класс. Напечатано это было на каком-то листке, едва ли не вырванном из тетрадки в клетку, но подписи были — «профессор-доктор» такой-то, «профессор-доктор» такой-то, и печать Московского математического общества.

В 1947 году Владимир Успенский стал студентом мехмата МГУ, в 1964-м стал доктором физико-математических наук, а в 1966-м — профессором того же мехмата. В 1995-м получил кафедру математической логики и теории алгоритмов.

Поскольку я имел психологию отличника, то я все лето учил — а я не понимал, как можно сдать что-то не на «пять». Девятый класс был тогда самый трудный из всех, самый объемный. И я все это сдал и в результате получил такое переутомление, что первые полгода я не мог ходить в школу, в десятый класс. Тогда директриса — очень хорошая, Лидия Петровна Мельникова, — вызвала моего отца и сказала: вообще-то в десятом классе оставаться на второй год нельзя, в любом другом можно, но не в десятом.

Вместо оставления на второй год человеку выдают не аттестат зрелости, необходимый для поступления в вуз, а справку о том, что он прослушал курс средней школы. Но в вашем случае, сказала она, я добьюсь того, чтоб ваш сын мог остаться на второй год. Она так сказала, чтобы мои родители не беспокоились, что я останусь со справкой. Я думаю, что я до сих пор не вышел из того переутомления, которое я получил тогда.

Ну, а потом я получил золотую медаль и поступил на мехмат МГУ. Это 1947-й год.

— Но в математике тоже, мне кажется, было не все благополучно? Ведь уже было дело Лузина. Его же, кажется, посадили?

— Нет, посадили не его, а его учителя Дмитрия Фёдоровича Егорова — почётного члена Академии наук, президента Московского математического общества и профессора Московского университета. И не только посадили, а довели в тюрьме до смерти. Это началось в 1930 году, после чего, насколько я знаю, Лузин покинул Московский университет и перестал заниматься делами Московского математического общества. Знаменитое «Дело Лузина» происходило летом 1936 года и к университету прямого отношения не имело. Николая Николаевича Лузина не посадили и даже не исключили из числа членов Академии наук. История, тем не менее, была довольно гнусная, потому что против него выступило абсолютное большинство его учеников — а у него была огромная научная школа, представители которой составляли элиту советской математики. А ведь в двадцатые годы, в период расцвета «Лузитании» (так назывался сплотившийся вокруг Лузина коллектив его учеников) эти самые ученики были в него буквально влюблены. «Дело Лузина» началось со статей в главной советской газете, газете «Правда», официальном органе правящей Коммунистической партии, и стало быстро приобретать угрожающую политическую окраску. Одна из статей называлась «О врагах в советской маске». Сталинское время имело свою мораль, и её основой была ненависть. Название статьи могло быть предвестником репрессий — не только тюрьмы, но и расстрела. Хотя некоторые из претензий лузинских учеников к своему учителю были, возможно, и справедливы, присоединение к политической травле, затеянной партийными функционерами, вряд ли может быть оправданным. Есть книга «Дело академика Лузина», ее надо читать. Это потрясающее чтение, страшное, а местами вызывающее омерзение, сравнимое с омерзением от чтения отдельных мест стенографического отчёта печально знаменитой августовской сессии ВАСХНИЛ 1948 года, закончившейся полным разгромом биологической науки в СССР и торжеством лысенковщины.

Может быть, чтение материалов дела Лузина даже более омерзительно, потому что в осуждении Лузина участвовали крупные математики, а на сессии ВАСХНИЛ с разгромными речами выступали всё-таки не крупные биологи, а безграмотные приспешники безграмотного «народного академика» Лысенко. Лузин действительно нередко обращался с учениками неэтично, он человек был со сложным характером и, думаю, мог иногда быть весьма неприятным. Повторяю, однако, что в 1920-х годах почти все участники школы Лузина были в него влюблены. Но со временем и Лузин постарел, и ученики повзрослели; по-видимому, Лузин не заметил этой эволюции и по-прежнему вёл себя, как лидер. Кстати, против него не выступил тот ученик, который имел на то больше всего оснований — это Петр Сергеевич Новиков, гениальный математик, один из крупнейших российских учёных XX века. Когда в 1957 году восстановили Ленинские премии, не вручавшиеся с 1935 года, то в отечественной математике не нашлось более значительных работ и Новикову тут же дали Ленинскую премию. Так вот, Лузин его отчасти обокрал, приписав некоторые результаты Новикова себе. Но в оправдание Лузина могу сказать: у него было феодальное мышление: «я феодал, это мои вассалы, и все, что они делают, — моё, но и я вассал вон того феодала, и все моё — его».

— А кто был его учитель-феодал?

— Я здесь имею в виду его второго (после Егорова) учителя, который отнюдь феодалом не был. Это великий французский математик, один из крупнейших математиков в истории, Анри Лебег (Henri Léon Lebesgue, 1875–1941).

В 1930 году в Париже была издана на французском языке книга Лузина «Лекции об аналитических множествах». Лебег написал к ней предисловие, в котором говорил:

Всякий, вероятно, удивится, когда узнает, читая Лузина, что я, между прочим, изобрел метод решета и первым построил аналитическое множество. Никто, однако, не удивится так, как я. Г-н Лузин лишь тогда бывает совершенно счастлив, когда ему удается приписать собственные открытия кому-либо другому.

Русский перевод книги Лузина публиковался в СССР дважды и каждый раз — без предисловия Лебега. Меня это искренне изумляло, пока я не узнал, что Сталин потому одобрил травлю Лузина, что это было началом осуществления его плана последовательного отгораживания от контактов с Западом советской науки и культуры в целом (после войны этот план вылился в чудовищную кампанию борьбы с так называемым низкопоклонством перед Западом). Однако в 1983 году отмечалось столетие Лузина, чему был посвящён специальный выпуск журнала «Успехи математических наук», вышедший в 1985 году. Это был хороший повод опубликовать предисловие Лебега. Я попросил своего сына сделать перевод с французского, и этот перевод с моими комментариями был, наконец, опубликован в названном выпуске.

«Дело Лузина» развивалось в Академии наук и к мехмату имело косвенное отношение — лишь тем, что на нём преподавали некоторые из гонителей Лузина. Когда в 1947 году я поступал на мехмат и когда в 1952 году я его кончал, он был лучшим математическим учебным заведением мира.

— Что за атмосфера была тогда на мехмате?

— Я не знал и не знаю, какая атмосфера была в то время в Консерватории, но мне казалось, что на мехмате такая же, как там. Атмосфера горящих глаз при знакомстве с музыкальной или математической новостью! Потому что это чистое, абсолютное знание… как игра в бисер из одноимённой книги.

«Правила этой игры игр нельзя выучить иначе, чем обычным, предписанным путем, на который уходят годы, да ведь никто из посвященных и не заинтересован в том, чтобы правила эти можно было выучить с большей легкостью. Эти правила, язык знаков и грамматика Игры представляют собой некую разновидность высокоразвитого тайного языка, в котором участвуют самые разные науки и искусства, но прежде всего математика и музыка (или музыковедение), и который способен выразить и соотнести содержание и выводы чуть ли не всех наук. Игра в бисер — это, таким образом, игра со всем содержанием и всеми ценностями нашей культуры, она играет ими примерно так, как во времена расцвета искусств живописец играл красками своей палитры. Всем опытом, всеми высокими мыслями и произведениями искусства, рожденными человечеством в его творческие эпохи, всем, что последующие периоды ученого созерцания свели к понятиям и сделали интеллектуальным достоянием, всей этой огромной массой духовных ценностей умелец Игры играет, как органист на органе, и совершенство этого органа трудно себе представить — его клавиши и педали охватывают весь духовный космос, его регистры почти бесчисленны, теоретически игрой на этом инструменте можно воспроизвести все духовное содержание мира. А клавиши эти, педали и регистры установлены твердо, менять их число и порядок в попытках усовершенствования можно, собственно, только в теории: обогащение языка Игры вводом новых значений строжайше контролируется ее высшим руководством. Зато в пределах этой твердо установленной системы, или, пользуясь нашей метафорой, в пределах сложной механики этого органа, отдельному умельцу Игры открыт целый мир возможностей и комбинаций, и чтобы из тысячи строго проведенных партий хотя бы две походили друг на друга больше чем поверхностно — это почти за пределами возможного. Даже если бы когда-нибудь два игрока случайно взяли для игры в точности одинаковый небольшой набор тем, то в зависимости от мышления, характера, настроения и виртуозности игроков обе эти партии выглядели и протекали бы совершенно по-разному».
Герман Гессе, «Игра в бисер»

— И вы, что называется, нашли себя там?

— Не совсем. С одной стороны, учиться было безумно интересно. С другой, я не считаю себя настоящим математиком.

— А что это значит?

— У Петра Сергеевича Новикова на его могиле на Новодевичьем кладбище написано: «Петр Сергеевич Новиков, математик». Вокруг — могилы со всякими регалиями. (Аналогия: был такой грузинский просветитель Акакий Церетели, так вот на его могиле в Тбилиси написано одно слово — Акакий). А тут — «математик», не «лауреат таких-то премий» или «академик» (хотя Новиков был и тем и другим). Вот что это значит. Но мне очень повезло, потому что меня заметил Колмогоров.

— Как это — заметил?

— Сейчас я вам расскажу. Мой первый учитель — Евгений Борисович Дынкин, который сейчас профессор в Корнеллском университете в США. Он родился в мае 1924 года, вы представляете, сколько ему сейчас лет. Школьником я ходил на математический кружок при университете, который он вёл, будучи аспирантом. Он оказал мне огромную честь в конце третьего курса, он сказал мне: «Давайте напишем книгу по итогам того школьного кружка, в котором вы были участником». И мы написали такую книгу, которая называлась «Математические беседы», я ходил в издательство Гостехиздат, вся серьезная математическая литература шла через него. И я студентом туда ходил и читал корректуру, и это, конечно, было для меня большим событием. И в 1952-м вышла эта книжка, а в 2004 году, через 52 года, вышло второе издание. А как Колмогоров меня заметил — сейчас я вам расскажу. Ему рассказал обо мне Дынкин. Потому что я там, в кружке Дынкина…

— Засветились.

— Засветился. Я даже знаю, на чем я засветился, это дело чрезвычайно простое. Это классическая задача о размножении бактерий, но Дынкин на школьном кружке почему-то ее излагал так, как будто речь шла о размножении лордов. Что, кстати, и неграмотно, потому что лорд, благодаря принципу майората, не производит много лордов. Пэрство в Палате лордов получает только старший сын. (Младших сыновей герцогов и маркизов тоже называют лордами, но это всего лишь из вежливости). Поэтому я буду излагать эту задачу в терминах размножения бактерий.

Итак, имеется бактерия, через единицу времени она с такой-то вероятностью умирает, а с такой-то — рождает другую бактерию, и тогда их становится две — мама и дочка, а с такой-то вероятностью она рождает две бактерии, а с такой-то — три. Даны все эти вероятности. Требуется выяснить, с какой вероятностью род данной бактерии когда-нибудь прекратится. Очень хорошо помню — Евгений Борисович сказал: я вам напишу некоторое уравнение, которому удовлетворяет вот этот икс, обозначающий искомую вероятность; объяснять, почему это так, я не буду, поскольку, чтобы объяснить, нужно использовать метод производящих функций, которого вы не знаете. А мне показалось, что это абсолютно очевидно и совершенно элементарно и что можно безо всяких производящих функций объяснить, почему это число икс удовлетворяет выписанному на доске уравнению. Дынкин тогда удивился, а потом рассказал Колмогорову, что есть такой мальчик, который дал для этой известной задачи вот такое простое объяснение.

Книга В. А. Успенского «Апология математики» (СПб.: Амфора, 2009)

А дальше… а дальше меня заметил уже сам Андрей Николаевич Колмогоров. Произошло это следующим образом. На мехмате были и есть широко распространены так называемые спецкурсы. Это курсы, которые не входят в обязательную программу, по существу факультативные. За время обучения полагается сдать определённое число таких спецкурсов. В мои студенческие годы люди, которые чем-то интересуются, часто слушали спецкурсы просто для удовольствия, а не для сдачи экзамена. Когда я был на третьем курсе, Колмогоров объявил спецкурс по теории меры.

Колмогоров был устроен так: когда он читал лекции для математиков, — причем это могли быть как школьники, какой-нибудь специальный математический класс, так и академики, это не важно, — то лекции для школьников понимали студенты, лекции для студентов понимали аспиранты, лекции для аспирантов понимали доктора наук, а научные доклады для докторов наук не понимал почти никто. После доклада, на котором надо было ловить каждое слово, все спрашивали друг друга — в надежде, что один понял одно, а другой другое. Но зато публичные лекции Колмогорова, скажем, в Политехническом музее, были абсолютно понятны. Обычным людям, которые к математике не имеют отношения, — им он исключительно понятно все объяснял. Но когда он говорил для математиков, то ему казалось, что это будет неуважение — разжевывать им такую очевидность.

Кажется, какой-то мемуарист описал, как он присутствовал при разговоре Андрея Белого с Пастернаком. И он не понимал, он слушал разговор — и ничего не понимал. А потом он понял, почему он ничего не понимает. Они перескакивали через три фразы на четвертую. А три фразы они не произносили ввиду их очевидности. Поэтому я слушаю спецкурс — и мало что понимаю. На одной из лекций в октябре 1949 года Колмогоров говорит: «Я вам сейчас приведу один факт, доказывать его я не буду, он нам для дальнейшего не нужен, но уж вы мне поверьте, что это так — не может быть такого неизмеримого множества на окружности, которое конгруэнтно своему дополнению». У меня начинает что-то крутиться в голове, и я понимаю, что такое неизмеримое множество существует. На самом деле я бы мог сейчас объяснить вам все произнесённые понятия.

— Боюсь, что это невозможно.

— Я всегда своим студентам говорю: имейте в виду, если вы чего-то не поняли, то всегда виноват я.

— Если бы я была вашей студенткой, эта теория была бы опровергнута очень быстро.

— Всегда виноват я.

И дальше Владимир Андреевич объясняет, что имел в виду Колмогоров, и под конец спрашивает:

— Понятно или нет?

— Понятно…

Окончание следует
В анонсе статьи использована иллюстрация Wolfgang Beyer with the program Ultra Fractal 3 (Creative Commons license)

Анастасия Нарышкина, 06.04.2011

 

Новости партнёров