Хронограф
18152229
29162330
310172431
4111825
5121926
6132027
7142128

<декабрь>

Путеводители

Миллион долларов на размышление

За решение «задач тысячелетия» математикам обещают хорошо заплатить. Но нет гарантий, что математики согласятся взять деньги за решённые задачи

Лист Мёбиуса иногда ошибочно называют лентой. Это неправильно потому, что лента должна быть ограничена двумя кривыми, или краями. Как нетрудно убедиться, у листа Мёбиуса не только одна сторона, у него и всего одна кромка. По этой кромке его можно вклеить в сферу, если в ней прорезать отверстие. Поверхность, которая получится в итоге, называют проективной плоскостью. Она не только двухмерная, как и поверхность сферы или тора, но и односторонняя, как поверхность листа Мёбиуса. Вдобавок к этому ее нельзя вложить в обычное трехмерное пространство, а потому и представить ее себе выше человеческих сил. Фото (Creative Commons license): Dave Gough

Сколько уже говорено про то, что российские ученые, при всей их квалификации, получают нищенские зарплаты. Тем не менее именно ученые, в отличие от различных топ-менеджеров, поп-звезд и супер-спортсменов, способны буквально в одночасье заработать миллион долларов. Для этого надо всего лишь сесть, подумать и решить одну из математических «проблем тысячелетия».

Почем проблема

По сравнению с прошлым столетием количество таких проблем сократилось почти в четыре раза. Когда в самом начале XX века знаменитый немецкий математик Давид Гильберт (David Hilbert, 1862–1943) выступил на международном математическом конгрессе в Париже, представленный им список математических и логических задач, которые предстояло решить в ближайшие сто лет, насчитывал 23 позиции. Плюс еще три проблемы, с которых он начал свою речь и которые, будучи уже упомянутыми, не вошли в основной список. Настолько они казались Гильберту само собой разумеющимися. А одна из самых красивых — задача о равносоставленности многогранников одинакового объема — была решена за несколько лет до того, как Гильберт ее поставил.

Первой из упомянутых им и последней из решенных проблем (всего к концу века двадцать из них было решено полностью) стало доказательство знаменитой Великой теоремы Ферма (Fermat’s Last Theorem). Две из оставшихся проблем были решены частично, две открыты до сих пор, одна, о математическом описании физических аксиом, признана нематематической, и одна, о прямой как кратчайшем соединении двух точек, была объявлена слишком расплывчатой, из-за чего невозможно было понять, решена она или нет.

Новый список проблем, составленный уже в начале этого века, насчитывает всего семь задач. Коренное отличие нынешнего списка, названного «Задачи тысячелетия» (Millennium Prize Problems), состоит в том, что за решение каждой из них частный некоммерческий фонд, основанный в 1998 году в американском Кембридже бостонским бизнесменом Лэндоном Клеем (Landon T. Clay), назначил премию в $1 млн. Вернее сказать, наоборот: проблем было выбрано именно семь по числу выделенных на их решение миллионов. Решение проблем Гильберта никакого вознаграждения, кроме вечной научной славы и глубокого научного же удовлетворения, не подразумевало.

Что значит материальный стимул

Первый миллион Клея был присужден 18 марта 43-летнему российскому математику, в недавнем прошлом сотруднику Санкт-Петербургского отделения Математического института имени Стеклова Григорию Яковлевичу Перельману, доказавшему справедливость так называемой гипотезы Пуанкаре (Poincaré Conjecture).

Если натянуть на мячик эластичную ленту, то, постепенно стягивая ее, не разрывая и нигде не отрывая от поверхности, можно собрать ее в одну точку. Про нее тогда говорят, что она «гомотопна нулю». Если же вы натянете такую ленту на бублик, такой же трюк уже может и не пройти: не всякая кривая на бублике будет гомотопна нулю.

В топологии — разделе математике, изучающем самые общие свойства непрерывности, — принято говорить, что у мячика и бублика разный род (genus). Сфера (то есть мячик, хотя и как угодно смятый или растянутый) относится к нулевому (genus 0), а тор (то есть бублик) — к первому (genus 1). Можно доказать, что любая замкнутая (то есть не имеющая границы) ориентированная (то есть имеющая две стороны) поверхность либо является сферой, либо может быть склеена из конечного количества торов.

В свое время один из крупнейших математиков рубежа XIX и ХХ веков Анри Пуанкаре (Jules Henri Poincaré, 1854–1912) совершил свою знаменитую ошибку: он перепутал гомотопию с гомологией. Ошибка эта неудивительна: про кривую говорят, что она «гомологична нулю на данной поверхности», если, проведя вдоль нее ножом, от поверхности можно отрезать кусок. Ясно, что в случае двухмерной поверхности всякая гомотопная нулю поверхность окажется гомологичной ему и наоборот. Ведь если ленточка натянута на бублик так, что ее не удастся стянуть в точку, то и разрезав вдоль нее бублик, мы не сможем поделить его надвое.

Многообразие Пуанкаре — пример трехмерной поверхности, которая одновременно чем-то похожа на мячик, поскольку любой «кривой» (ее роль играет двухмерная поверхность) ее можно разделить на две части, и на бублик, поскольку не любую такую «кривую» можно непрерывным образом стянуть в точку. Хотя представить себе такое невозможно, ее свойства можно изучать на бесконечной решетке из додекаэдров, ребра которых определенным образом склеены. Скриншот программы «Curved Spaces», Jeff Weeks 

Но совершив ошибку, Пуанкаре сам же ее и обнаружил: он построил пример поверхности, где каждая кривая гомологична нулю, но не каждая — нулю гомотопна. Иначе говоря, эта поверхность может быть разделена на две части разрезанием даже вдоль таких кривых, которые нельзя непрерывным образом стянуть в точку. Этот пример получил название «многообразия Пуанкаре», которое теперь играет довольно важную роль в космологии. Конечно, представить такую поверхность человеческий разум себе не может — она трехмерная, в отличие от двухмерных мячика и бублика. Но ее можно описать тремя уравнениями в шестимерном пространстве.

И тогда Пуанкаре сделал свое не менее знаменитое предположение: если всякую кривую на поверхности произвольной размерности можно стянуть в точку (она гомотопична нулю), то эта поверхность — сфера (относится к нулевому роду). Для двухмерных поверхностей, как мы видели, это утверждение очевидно. Его оказалось довольно несложно доказать для размерностей выше пятой. Самым тяжелым, но одновременно и самым важным оказалось ее доказательство в трехмерном случае. На протяжении всего ХХ века найти его так и не удалось.

Однако после того как за решение проблемы было объявлено солидное вознаграждение, таких доказательств нашлось сразу два. В начале 2002 года профессор математики из Университета Саутгемптона (University of Southampton) Мартин Данвуди (Martin J. Dunwoody) опубликовал препринт, содержащий доказательство гипотезы для трехмерного случая. На поиск ошибки ушел целый год.

А в конце того же 2002 года математик из Санкт-Петербурга Григорий Перельман поместил свой препринт на сайте arXiv.org, располагавшемся тогда на серверах Лос-Аламосской лаборатории (Los Alamos National Lab), а теперь переехавшего в Корнеллский университет (Cornell University). Еще два препринта на ту же тему Перельман разместил на том же сайте в марте и июле 2003 года, а в промежутке между ними, в апреле 2003 года он прочитал несколько лекций в Массачусетском технологическом институте. Предложенное им доказательство изучалось еще несколько лет, и только в 2006 года на Математическом конгрессе в Мадриде о его победе было объявлено официально.

Однако сам виновник торжества на свои чествования не явился. Более того, он уволился с работы и, очевидно, прекратил занятия математикой. Перельман отказался от поездки в Мадрид, а потом и от присужденной ему во время конгресса престижной медали Филдса, равно как и от прилагающейся к ней денежной премии стоимостью C$15 000 (по сегодняшнему курсу — $14 750). Тогда же стало ясно, что миллион Клея — не более чем вопрос времени. И в одном из немногочисленных интервью, которое от него удалось получить, питерский математик заявил, что от этого миллиона он не отказывается, но говорить о нем можно будет только после окончательного присуждения.

Пока известий о том, что Григорий Перельман согласился принять клеевские деньги, не поступало, как не было и известий об отказе от них. Впрочем, причин торопиться у него нет: процесс вручения денежного эквивалента «задач тысячелетия» временем не ограничен, и Григорий может запросить причитающуюся сумму в любой удобный для него момент.

Легенда гласит, что Пифагор, узнав от гонца об открытии несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали, так расстроился, что велел гонца утопить. А о том, что в прямоугольнике, стороны которого относятся как 3 к 4, диагональ вполне соизмерима с каждой из них, образуя отношения 3:5 и 4:5, было хорошо известно в Древнем Египте, а может даже раньше. Фото (Creative Commons license): kudumomo

Судьба оставшихся миллионов

Гипотеза Берча и Свинертон-Дайера

Уравнения вида x+ y+ z+ … = tn на множестве целых чисел привлекали внимание математиков с античных времен. Решения самого простого из них x+ y= z2 (например, знаменитых «египетский треугольник» — 3+ 4= 52) было известно еще в Вавилоне, а полностью его исследовал еще в III веке н. э. александрийский математик Диофант (Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς, Diophantus, III век н.э.). Именно на полях его «Арифметики» написал формулировку своей знаменитой теоремы Пьер Ферма (Pierre de Fermat, 1601 или 1607/8–1665). А одно из самых больших решений (в докомпьютерную эпоху) предложил в 1769 году Леонард Эйлер (1707–1783). Ему удалось соорудить следующее равенство: 2 682 440+ 15 365 639+ 18 796 760= 20 615 6734.

Универсального метода вычисления для подобных уравнений не существует. Однако еще во времена долгих безуспешных попыток доказать теорему Ферма стало известно об их связи с простыми числами, а потом и с некоторыми классами плоских кривых. Корни диофантовых уравнений, простые числа и точки пересечения плоских кривых описываются с помощью некоторых специальных функций — например, дзета-функции Римана или ее обобщения, L-функции Гассе–Вейля. Математики Берч (Bryan John Birch) и Свинертон-Дайер (Sir Henry Peter Francis Swinnerton-Dyer) в 1960 году, экспериментируя на компьютере с некоторыми известными кривыми, обнаружили для них довольно простое поведение L-функции вблизи нулей. Тогда они предположили, что это свойство будет сохраняться для любых кривых. Ни доказать, ни опровергнуть это предположение пока никто не смог. Если считаете, что доказать это вам не под силу, найдите пример, при котором свойство не сработает, и можете считать, что миллион у вас в кармане. Ведь для его получения вполне достаточно и опровергнуть гипотезу даже простым частным случаем.

Гипотеза Ходжа

Исследовать сложный объект тем сложнее, чем сложнее он устроен. Поэтому математики обычно сначала пытаются разложить его на объекты более простые, работать с которыми, как понятно, проще. Проблема в том, что просто разложить объект на составляющие получается далеко не всегда. Иногда при этом возникают новые части, неизвестно откуда взявшиеся и непонятно что из себя представляющие. Либо, наоборот, при более детальном исследовании выясняется, что каких-то деталей явно не хватает. Проще говоря, исследуя просто кирпичи, мы не можем себе представить, что собой представляет составленный из них дом, как он выглядит и по каким правилам его строят. Для этого нужно, как минимум, изучить еще и заключенное между ними пустое пространство комнат. Профессор Кембриджа Вильям Ходж (William Vallance Douglas Hodge, 1903–1975) в своих трудах в 1941 году описал условия, при которых, как ему кажется, такие непонятные «лишние» части не могут возникать и в которых любое геометрическое тело можно исследовать как алгебраическое уравнение, составив его математическую модель. Ни доказать его предположение, ни опровергнуть его ученые не могут уже почти 70 лет.

Модель самолета F-16 в аэродинамической трубе NASA. Благодаря дыму и лазерной подсветке, движение воздуха вблизи корпуса модели наблюдать лучше. В математической форме оно описывается уравнение Навье-Стокса, которое пока удается решить лишь в довольно специальных частных случаях. Доказать теорему существования и единственности решения для него в общем случае не удается. А именно от этого зависит осмысленность применения численных методов. Фото: NASA

Уравнения Навье-Стокса

Когда вы плывете по озеру на лодке, от нее разбегаются волны. Вслед за летящим самолетом или мчащимся автомобилем возникают турбулентные потоки — подобные волнам воздушные завихрения. Все эти явления описываются созданными еще в 1822 году уравнениями Навье-Стокса. Несмотря на то что уравнения созданы уже достаточно давно, как их решать, до сих пор никто не знает. Мало того, никто пока даже не знает, существует ли вообще способ их решения. В то же время ими весьма активно пользуются не только математики, но и конструкторы самолетов, автомобилей и кораблей. Правда, использовать их можно пока только методом НТ («научного тыка»): подставляя уже известные значения скорости, времени, давления, плотности и так далее и проверяя, подходят ли они друг к другу. Если кто-нибудь найдет метод решения, пользоваться уравнениями можно будет и в противоположном направлении, вычисляя из равенства все необходимые параметры. Это сделает ненужными аэродинамические испытания. Впрочем, премию математик получит и в том случае, если докажет, что метода решения нет.

Проблема Решения-Проверки (Проблема Кука-Левина)

Если перед человеком ставят задачу найти в лесу закопанный там в прошлом веке клад, он может потратить на поиски и год, и два, и десятилетие, а то и всю жизнь. Все происходит гораздо быстрее, когда ему говорят: «Клад зарыт под единственной в лесу осиной. Пойди и проверь». Примерно то же происходит при решении любой задачи. Все мы прекрасно понимаем, что на проверку какого-нибудь решения времени уходит обычно меньше, чем на само решение. Понимать-то понимаем, а доказать сей простой и, казалось бы, логичный факт, как оказалось, не можем. А поэтому, если вам удастся найти такую задачу, проверка правильности решения которой, независимо от способа проверки, будет занимать времени больше, чем само решение — срочно связывайтесь с институтом Клея, и через два года вы станете обладателем миллиона долларов. Решение сформулированной в 1971 году «проблемы Кука», по словам ученых, приведет к настоящей революции в области криптографии и к появлению систем шифрования, которые просто невозможно будет взломать. Очень грубо: появятся шифры, проверка правильности взлома которых будет происходить бесконечно долго.

Гипотеза Римана

Среди всей массы чисел особое место занимают числа, которые невозможно разделить ни на что более мелкое, чем они сами: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и так далее. Такие числа называются «простыми», и они для математиков крайне важны. Как они распределяются по числовому ряду — пока известно одному Богу. Риман в 1859 году даже не предложил способ их поиска или проверки. Проверить, является ли число простым или нет, можно только попробовав разделить его на все меньшие его простые числа (самое большое из известных на сегодняшний день простых было найдено в августе 2008 года и состоит из 12 978 189 цифр). Он просто нашел метод, по которому можно определить максимальное количество простых чисел, не превышающих некое заданное число. На сегодня математики проверили этот метод с полутора триллионами «простых». Сбоев пока найдено не было. Однако это вовсе не говорит о том, что метод не споткнется на полтора триллиона первой проверке. А поскольку гипотеза Римана, перешедшая в новый список еще из списка Гильберта, активно используется для расчета систем безопасности передачи данных в сотовых сетях, в сети Интернет и так далее, ее доказательство имеет весьма практический смысл. И миллион здесь платить есть за что.

Многие системы безопасности — в частности, те, что защищают DVD от незаконного копирования, — основываются на свойствах простых чисел. Защита отказывается тем надежнее, чем длиннее число. Но иногда защиту удается сломать, подобрав простое число значительно меньшей длины — что именно и случилось с DVD. Иллюстрация: Олег Сендюрев

Уравнения Янга-Миллса

Свои квантовые уравнения американские физики Чжэнь-нин Янг (Chen-Ning Franklin Yang) и Роберт Миллс (Robert L. Mills, 1927–1999) составили в 1954 году, исходя из самых общих представлений о симметрии элементарных частиц. Несмотря на формальность подхода, уравнения замечательно описывают почти все известные виды взаимодействий — сильное, слабое и электромагнитное. С помощью уравнений даже было предсказано открытие новых частиц, которые потом были действительно найдены в экспериментах, проведенных в крупнейших лабораториях мира — Brookhaven, Stanford и CERN. Но при этом до сих пор непонятно, как они работают и, вообще, так ли уж они верны. Из всех вышеперечисленных уравнений эти — наиболее сложные, поэтому мы их приводить не будем. Но если вам не хватит пяти миллионов, которые можно получить за решение предыдущих пяти проблем, никто вам не запретит постараться решить еще и эту. Дерзайте и обрящете.

Валерий Чумаков, 02.04.2010

 

Новости партнёров