Хронограф
18152229
29162330
310172431
4111825
5121926
6132027
7142128

<декабрь>

Путеводители

Кривоногая, зато прямоходящая

Сугубо механические задачи удается решать лишь с использованием довольно абстрактных разделов математематики

Стеклоочистители автомобиля приводятся в движение «трапецией дворников» — плоского шарнирного механизма, преобразующего вращение мотора в одну сторону на движение дворников вправо-влево. Фото (Creative Commons license): Kyle Eertmoed

Плоские шарнирные механизмы встречаются в жизни повсюду — это и доводчик двери, и спица зонтика, и система открывания двери машины. Работа некоторых из них может показаться удивительной. Вот, например, стеклоочистители автомобиля — «дворники», быстро смахивающие воду с лобового стекла то в одну, то в другую сторону. Задумывались ли вы, как они приводятся в движение? Если посмотреть снаружи, то их работа выглядит противоречащей законам физики: единственная точка крепления, поводок, прижимающий щетку к стеклу… Если моторчик, которого мы не видим, достаточно мощен, чтобы вращать такую систему, то он не может достаточно быстро менять направление вращения.

Изучив устройство, можно увидеть, что моторчик вращается все время в одну сторону, а плоский шарнирный механизм — палочки, соединенные шарнирами, — исторически называемый в автомобилях «трапецией дворников», преобразует равномерное вращение оси в возвратно-поступательные круговые движения дворников. Похожие механизмы создавались ещё очень давно. Но чтобы не ходить за примерами слишком далеко в историю, вспомним Джеймса Уатта (James Watt, 1736–1819) и его паровую машину. Он довольно успешно решил задачу преобразования возвратно-поступательного движения поршня во вращательное движение вала. Успешно, но не математически точно.

То, что «параллелограмм Уатта» не идеальное и в инженерном смысле решение для указанной задачи, и сам Уатт хорошо понимал. Причины, по которым он им пользовался, коренились скорее в определенном принципе: он не хотел пользоваться неправомерным патентом. И едва только патент, выданный Пиккару (James Pickard) и Уосбругу (Matthew Wasbrough) на кривошипно-шатунный механизм, истек, Уатт стал пользоваться именно им. Между тем, сложные движения, совершаемые в нем шатуном, один конец которого крепится к поршню, а другой — к коленвалу, сильно ограничивают его применимость. Можно ли добиться преобразования движения по окружности в движение строго по прямой (или её части)?

 
Модель стопоходящей машина П. Л. Чебышева, воссозданная проектом «Математические этюды» по оригиналу, хранящемуся в Политехническом музее г. Москвы. Иллюстрация Михаила Калиниченко

Именно эта задача — спрямление движения по окружности в движение строго по прямой — положила начало удивительному сотрудничеству теории шарнирных механизмов и математики — до того инженеры обходились своим опытом и техническим чутьем. Великий российский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821–1894) стал проводить исследования шарнирных механизмов математическими методами. Он не смог точно решить изначальную задачу, однако предложенная им практическая конструкция давала приближение к прямой на несколько порядков лучше параллелограмма Уатта. Для построения таких механизмов Чебышев разработал два новых направления математики — теорию приближения функций и теорию синтеза механизмов.

Оба направления развились в большие самостоятельные науки, широко применяемые сегодня. Например, вы сканируете фотографию и сжимаете в jpg-файл. Насколько имеющееся изображение «похоже» на оригинальную фотографию? Как формализовать этот вопрос, а самое главное — как найти хороший алгоритм, который заменяет объект более простым, но в каком-либо смысле «похожим»? Теория приближений в её современном виде позволяет дать ответы на такие вопросы, находит много применений в практике, но кроме того, у нее обнаружились и неожиданные приложения.

Большую часть своего профессорского жалования Чебышев тратил на изготовление придуманных им механизмов. Его «стопоходящая машина» считается сейчас первым в мире шагающим механизмом, она получила всеобщее одобрение на Всемирной выставке в Париже 1878 года (Exposition universelle de 1878). Сейчас она хранится в Политехническом музее г. Москвы, а представить себе, как она двигается и какова её кинематическая схема, можно благодаря проекту «Математические этюды», где представлена анимация точной 3D-модели стопоходящей машины.

 
Голландский художник Тео Янсен — большой поклонник кинетических решений. Он не только воспроизводит сложные плоские шарнирные механизмы, но и ищет механические эквиваленты логических цепей. В руках у него гейт NOT, собранный из вентилей и трубок. Фото (Creative Commons license): Javier Candeira 

Стопоходящая машина не умела самостоятельно двигаться, не умела поворачивать. Но это был первый успешный опыт в попытках найти замену колесу. Сколь ни совершенно это изобретение человечества, справедливо почитаемое одним из величайших, оно предполагает одно существенное условие — наличие дороги. На сильно пересеченной местности оно практически бесполезно, а ведь животные там легко передвигаются. Только в полной мере имитировать их движения робототехника пока не может. Современные реализации шагающих механизмов можно увидеть, к примеру, в шагающих экскаваторах или моделях голландского кинематического скульптора Тео Янсена (Theo Jansen).

Ещё один дошедший до наших дней изящно выполненный механизм Пафнутия Львовича — «сортировалка». В нем простая и красивая геометрическая идея служит решению важной практической задачи — сортировке зерна. И в XIX веке, и в наши дни зерно сортируют по массе с целью отобрать лучшие — более тяжелые — зерна.

Известно, что всего Чебышев сделал около четырех десятков различных механизмов, некоторые из них хранятся сейчас в Политехническом музее. От гребного механизма, приводящего в движение лодку, до нас дошли только фотографии. Механизм под названием «велосипед» — идея ножного привода, а также «самокатное кресло», хранятся в Музее истории Санкт-Петербургского Университета. Как они выглядели при жизни автора, можно понять по фотографии из альбома Бориса Николаевича Меншуткина (1874–1938). В конце XIX века Борис Николаевич, незадолго до этого окончивший университет, а в будущем известный профессор, прошел по аудиториям университета и сфотографировал их. Альбом, так же как и перечисленные механизмы, хранится сейчас в Музее истории университета. Там же можно увидеть и другую реализацию стопоходящей машины — меньшего размера и сделанную полностью из железа.

Ещё несколько шарнирных механизмов Чебышева хранятся в запасниках Музея искусств и ремесел (Musée des arts et métiers) в Париже. А в экспозиции можно увидеть арифмометр уникальной системы, созданный российским математиком.

Фотография 1899 года механического кабинета Санкт-Петербургского Университета, запечатлевшая несколько механизмов, созданных П. Л. Чебышевым (из альбома Б. Н. Меншуткина). Справа на переднем плане «велосипед», левее него частично закрыто столом — «самоходное кресло», за креслом на полу стоит «сортировалка». Фото: Музей истории СПбГУ

Многие идеи русских ученых и изобретателей оказывались надолго забыты. К сожалению, не обошла эта участь и идеи Чебышева по созданию шарнирных механизмов после его смерти. Лишь во время Великой Отечественной войны, когда академику (в те годы пока ещё члену-корреспонденту АН СССР) Ивану Ивановичу Артоболевскому (1905–1977) понадобилось в срочном порядке создавать некоторые механизмы, он обнаружил (как он сам пишет в своих, лишь недавно увидевших свет, воспоминаниях), что в трудах Пафнутия Львовича многие необходимые идеи уже содержались. Впоследствии вместе с его учеником Н. И. Левитским они классифицировали механизмы Чебышева с точки зрения механики, и идеями, заложенными в них, пользуются и по сей день.

А задача построения прямила — шарнирного механизма, спрямляющего движение по окружности в движение строго по прямой, — той самой, с которой началось сотрудничество математики и шарнирных механизмов, была решена студентом П. Л. Чебышева Липманом Израилевичем Липкиным (1846–1876). Правда, история, как это часто бывает, довольно запутанна. О построении в 1864 году в частном письме сообщил офицер инженерного корпуса французской армии Шарль-Николя Поселье (Charles Nicolas Peaucellier, 1823–1913). Однако он не указал никаких подробностей построения механизма.

Прямило Липкина. Дуга окружности, проходящей через центр инверсии, под действием этого преобразования плоскости переходит в прямую. К шарнирному механизму, реализующему инверсию, добавляется неподвижный шарнир и звено так, чтобы один из шарниров изначального механизма ходил по упомянутой дуге. Иллюстрация Михаила Калиниченко

В 1868 году Липкин изобретает прямило, основанное на свойствах геометрического преобразования плоскости — инверсии. Это преобразование взаимнооднозначно отображает область внутри окружности инверсии, за исключением её центра, на всю внешность этой окружности. И дуга окружности, проходящей через центр инверсии и расположенная внутри окружности инверсии, переходит под действием этого преобразования ровно в прямую! Как и большинство преобразований плоскости, инверсия может быть реализована с помощью плоского шарнирного механизма, что и использовал Липкин. Его подробная статья выходит в 1870, и лишь в 1873 году появляется статья Поселье с описанием такого же устройства, со ссылкой на работу Липкина, но и с утверждением, что в том самом письме имелась в виду именно эта же идея.

Теория плоских шарнирных механизмов применялась на практике весь XX век, применяется и сегодня. Но как ни удивительно, в начале XXI века она снова ставит перед математикой одновременно сложные и красивые задачи. Новый виток в её истории начался с полного доказательства теоремы «о подписи» — оказывается, существует плоский шарнирный механизм, который «подделывает» вашу подпись и ничего другого рисовать не умеет! Как и всякая подделка, нарисованная кривая (как и подпись, возможно, состоящая из нескольких несвязанных кусков) будет немного отличаться от оригинала, но это различие можно делать сколь угодно малым, правда, ценой усложнения рисующего механизма (вспомним, опять же, про задачу теории приближения — заменить объект чем-то «похожим», но в каком-то смысле более простым).

Найти компромисс между сложностью механизма и качеством приближения — это уже не математический, а инженерный вопрос, который следует решать, принимая во внимание технические особенности задачи. А можно ли, путем сужения класса кривых (все подписи —  это очень большой и сложный класс), например, рассматривая только связанные и гладкие кривые, добиться, чтобы любая кривая такого типа в точности, а не приближенно, рисовалась непрерывным движением плоского шарнирного механизма? Этот вопрос, возникший совсем недавно — в 2004 году, как и многие другие интересные математические задачи теории шарнирных механизмов, ещё ждет своего исследователя.

В анонсе статьи использовано фото современной шагающей машины MondoSpider (Creative Commons license): Civixen 

Николай Андреев, Михаил Калиниченко, Роман Кокшаров, 21.07.2008

 

Новости партнёров